1. **Énoncé du problème :** Calculer les produits scalaires demandés en utilisant les propriétés du produit scalaire. 2. **Rappel de la définition et propriétés du produit scalaire :** Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est noté $\vec{u} \cdot \vec{v}$. Il est commutatif : $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$$ Il est bilinéaire, donc pour tout scalaire $k$ : $$ (k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$$ 3. **Calculs demandés :** - On sait que $AB \cdot AC = 10$. **1. Calculer $AB \cdot CA$, $BA \cdot AC$ et $BA \cdot CA$ :** - Comme $CA = -AC$, alors $$AB \cdot CA = AB \cdot (-AC) = - (AB \cdot AC) = -10$$ - Comme $BA = -AB$, alors $$BA \cdot AC = (-AB) \cdot AC = - (AB \cdot AC) = -10$$ - Enfin, $$BA \cdot CA = (-AB) \cdot (-AC) = AB \cdot AC = 10$$ **2. Calculer $BA \cdot 2AC$ et $(3AB) \cdot (4AC)$ :** - Utilisation de la bilinéarité : $$BA \cdot 2AC = 2 (BA \cdot AC) = 2 \times (-10) = -20$$ $$ (3AB) \cdot (4AC) = 3 \times 4 (AB \cdot AC) = 12 \times 10 = 120$$ **Réponses finales :** - $AB \cdot CA = -10$ - $BA \cdot AC = -10$ - $BA \cdot CA = 10$ - $BA \cdot 2AC = -20$ - $(3AB) \cdot (4AC) = 120$