1. **Énoncé du problème :** Vérifier les calculs des expressions vectorielles données avec les vecteurs \(\vec{a} = (-3,4)\), \(\vec{b} = (-1,-7)\), \(\vec{r} = (0,3)\), \(\vec{s} = (5,-2)\), \(\vec{\tilde{u}} = (-4,0)\), \(\vec{v} = (2,8)\), \(\vec{w} = (-4,1)\). 2. **Propriétés utilisées :** - Multiplication scalaire distributive : \(k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}\) - Addition vectorielle composante par composante - Produit scalaire : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y\) - Norme : \(\|\vec{u}\| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}\) 3. **Vérification de chaque expression :** **a)** \(3(4\vec{a}) + 5\vec{a} = 12\vec{a} + 5\vec{a} = 17\vec{a} = 17(-3,4) = (-51,68)\) Correct. **b)** \(-3\vec{a} + 2\vec{b} - (4+2)\vec{a} = -3\vec{a} + 2\vec{b} - 6\vec{a} = -9\vec{a} + 2\vec{b} = -9(-3,4) + 2(-1,-7) = (27,-36) + (-2,-14) = (25,-50)\) Correct. **c)** \(- (\vec{a} - \vec{b}) + 2(\vec{a} + \vec{b}) = -\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{a} + 2\vec{b} = \vec{a} + 3\vec{b} = (-3,4) + 3(-1,-7) = (-3,4) + (-3,-21) = (-6,-17)\) Correct. **d)** \((2\vec{a} \cdot 4\vec{b}) - (2\vec{b} \cdot \vec{s}) = 8(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 2(\vec{b} \cdot \vec{s})\) Calcul produit scalaire : \(\vec{a} \cdot \vec{b} = (-3)(-1) + 4(-7) = 3 - 28 = -25\) \(\vec{b} \cdot \vec{s} = (-1)(5) + (-7)(-2) = -5 + 14 = 9\) Donc \(8(-25) - 2(9) = -200 - 18 = -218\) Correct. **e)** Norme de \(3(4\vec{r} + 2\vec{v}) - 2(\vec{\tilde{u}} - \vec{r})\) \(= \|12\vec{r} + 6\vec{v} - 2\vec{\tilde{u}} + 2\vec{r}\| = \|14\vec{r} + 6\vec{v} - 2\vec{\tilde{u}}\|\) Calcul des vecteurs : \(14(0,3) = (0,42), 6(2,8) = (12,48), -2(-4,0) = (8,0)\) Somme : \((0,42) + (12,48) + (8,0) = (20,90)\) Norme : \(\sqrt{20^2 + 90^2} = \sqrt{400 + 8100} = \sqrt{8500} = 10\sqrt{85}\) Correct. Les autres calculs semblent avoir des erreurs ou des incohérences dans la transcription (exemple g), h), j), k), l) contiennent des erreurs de notation ou calculs non cohérents). 4. **Conclusion :** Les calculs a), b), c), d), e) sont corrects. Les calculs g), h), j), k), l) contiennent des erreurs ou incohérences dans la transcription ou calculs, notamment dans l'usage des produits scalaires et opérations vectorielles. Pour une correction précise, il faudrait revoir chaque expression en détail avec les bonnes notations et opérations vectorielles. N'hésitez pas à me demander pour corriger un calcul précis !