1. **Énoncé du problème :** Déterminer les entiers $n \geq 3$ tels que le polynôme $P_n = (X - 1)^n - X^n + 1$ ait au moins une racine double. 2. **Rappel :** Un polynôme a une racine double $\alpha$ si et seulement si $P_n(\alpha) = 0$ et $P_n'(\alpha) = 0$. 3. **Calcul de $P_n'(X)$ :** $$P_n'(X) = n(X - 1)^{n-1} - nX^{n-1}$$ 4. **Conditions pour une racine double $\alpha$ :** $$\begin{cases} P_n(\alpha) = (\alpha - 1)^n - \alpha^n + 1 = 0 \\ P_n'(\alpha) = n(\alpha - 1)^{n-1} - n\alpha^{n-1} = 0 \end{cases}$$ 5. **Simplification de la dérivée :** $$P_n'(\alpha) = n\left((\alpha - 1)^{n-1} - \alpha^{n-1}\right) = 0 \implies (\alpha - 1)^{n-1} = \alpha^{n-1}$$ 6. **Analysons cette égalité :** $$\left(\frac{\alpha - 1}{\alpha}\right)^{n-1} = 1$$ Posons $z = \frac{\alpha - 1}{\alpha} = 1 - \frac{1}{\alpha}$. 7. **Donc $z^{n-1} = 1$, $z$ est une racine $(n-1)$-ième de l'unité.** 8. **Revenons à la première équation :** $$P_n(\alpha) = (\alpha - 1)^n - \alpha^n + 1 = 0$$ Divisons par $\alpha^n$ (avec $\alpha \neq 0$ car sinon $P_n(0) = (-1)^n + 1 \neq 0$ pour $n \geq 3$) : $$\left(\frac{\alpha - 1}{\alpha}\right)^n - 1 + \frac{1}{\alpha^n} = 0$$ $$z^n - 1 + \frac{1}{\alpha^n} = 0 \implies \frac{1}{\alpha^n} = 1 - z^n$$ 9. **Or $z^{n-1} = 1$, donc $z^n = z$.** Donc : $$\frac{1}{\alpha^n} = 1 - z$$ 10. **Rappelons que $z = 1 - \frac{1}{\alpha}$, donc $1 - z = \frac{1}{\alpha}$.** Donc : $$\frac{1}{\alpha^n} = \frac{1}{\alpha} \implies \frac{1}{\alpha^n} - \frac{1}{\alpha} = 0$$ $$\frac{1 - \alpha^{n-1}}{\alpha^n} = 0 \implies 1 - \alpha^{n-1} = 0$$ 11. **Donc $\alpha^{n-1} = 1$.** 12. **Récapitulons :** - $z = 1 - \frac{1}{\alpha}$ est une racine $(n-1)$-ième de l'unité : $z^{n-1} = 1$. - $\alpha^{n-1} = 1$. 13. **Exprimons $z$ en fonction de $\alpha$ :** $$z = 1 - \frac{1}{\alpha}$$ 14. **Posons $\alpha = e^{\frac{2i\pi k}{n-1}}$ pour $k = 0, 1, ..., n-2$.** Alors : $$z = 1 - e^{-\frac{2i\pi k}{n-1}}$$ 15. **Condition $z^{n-1} = 1$ implique que $z$ est aussi une racine $(n-1)$-ième de l'unité.** 16. **Analysons le cas $k=0$ :** $\alpha = 1$, alors $z = 1 - 1 = 0$, et $0^{n-1} = 0 \neq 1$, exclu. 17. **Pour $k \neq 0$, $z = 1 - e^{-\frac{2i\pi k}{n-1}}$.** On veut $z^{n-1} = 1$. 18. **Or $z = 1 - e^{-\frac{2i\pi k}{n-1}} = e^{i\theta}$ pour un certain $\theta$ ?** Calculons le module de $z$ : $$|z| = |1 - e^{-\frac{2i\pi k}{n-1}}| = 2 \left|\sin\left(\frac{\pi k}{n-1}\right)\right|$$ 19. **Pour que $|z|=1$, il faut :** $$2 \left|\sin\left(\frac{\pi k}{n-1}\right)\right| = 1 \implies \left|\sin\left(\frac{\pi k}{n-1}\right)\right| = \frac{1}{2}$$ 20. **Les solutions dans $]0, \pi[$ sont :** $$\frac{\pi k}{n-1} = \frac{\pi}{6} \text{ ou } \frac{5\pi}{6}$$ 21. **Donc :** $$k = \frac{n-1}{6} \quad \text{ou} \quad k = \frac{5(n-1)}{6}$$ 22. **Pour $k$ entier, $n-1$ doit être divisible par 6.** 23. **Conclusion :** Le polynôme $P_n$ a une racine double si et seulement si $n-1$ est multiple de 6, c'est-à-dire $$n = 6m + 1 \quad \text{avec } m \in \mathbb{N} \text{ et } n \geq 3$$ 24. **Vérification rapide :** Pour $n=7$, $n-1=6$, la condition est satisfaite. **Réponse finale :** $$\boxed{\text{Les entiers } n \geq 3 \text{ tels que } n-1 \text{ est multiple de } 6, \text{ c'est-à-dire } n=6m+1.}$$