1. **Énoncé du problème :** Montrer que 1 et 2 sont des racines des polynômes $A(x)$ et $B(x)$, et déterminer leurs ordres de multiplicité en utilisant l'algorithme de Horner. 2. **Rappel de l'algorithme de Horner :** L'algorithme de Horner permet d'évaluer un polynôme en un point donné et de réaliser la division euclidienne par $(x - r)$ où $r$ est ce point. Si le reste est nul, alors $r$ est une racine. Répéter la division pour déterminer l'ordre de multiplicité. 3. **Polynômes donnés :** $$A(x) = x^7 - 5x^6 + 10x^5 - 14x^4 + 17x^3 - 13x^2 + 8x - 4$$ $$B(x) = x^5 - 4x^4 + 6x^3 - 6x^2 + 5x - 2$$ 4. **Tester $x=1$ pour $A(x)$ avec Horner :** Coefficients de $A$ : $[1, -5, 10, -14, 17, -13, 8, -4]$ Calcul : - $b_0 = 1$ - $b_1 = 1 \times 1 + (-5) = -4$ - $b_2 = (-4) \times 1 + 10 = 6$ - $b_3 = 6 \times 1 + (-14) = -8$ - $b_4 = -8 \times 1 + 17 = 9$ - $b_5 = 9 \times 1 + (-13) = -4$ - $b_6 = -4 \times 1 + 8 = 4$ - $b_7 = 4 \times 1 + (-4) = 0$ Le reste est $b_7=0$, donc 1 est racine de $A$. 5. **Diviser $A$ par $(x-1)$ :** Le quotient a pour coefficients $[1, -4, 6, -8, 9, -4, 4]$. 6. **Tester à nouveau $x=1$ sur le quotient :** - $b_0=1$ - $b_1=1 \times 1 + (-4) = -3$ - $b_2=-3 \times 1 + 6 = 3$ - $b_3=3 \times 1 + (-8) = -5$ - $b_4=-5 \times 1 + 9 = 4$ - $b_5=4 \times 1 + (-4) = 0$ - $b_6=0 \times 1 + 4 = 4$ Le reste n'est pas nul, donc l'ordre de multiplicité de 1 pour $A$ est 1. 7. **Tester $x=2$ pour $A(x)$ avec Horner :** - $b_0=1$ - $b_1=1 \times 2 + (-5) = -3$ - $b_2=-3 \times 2 + 10 = 4$ - $b_3=4 \times 2 + (-14) = -6$ - $b_4=-6 \times 2 + 17 = 5$ - $b_5=5 \times 2 + (-13) = -3$ - $b_6=-3 \times 2 + 8 = 2$ - $b_7=2 \times 2 + (-4) = 0$ Le reste est nul, donc 2 est racine de $A$. 8. **Diviser $A$ par $(x-2)$ :** Quotient coefficients : $[1, -3, 4, -6, 5, -3, 2]$ 9. **Tester à nouveau $x=2$ sur le quotient :** - $b_0=1$ - $b_1=1 \times 2 + (-3) = -1$ - $b_2=-1 \times 2 + 4 = 2$ - $b_3=2 \times 2 + (-6) = -2$ - $b_4=-2 \times 2 + 5 = 1$ - $b_5=1 \times 2 + (-3) = -1$ - $b_6=-1 \times 2 + 2 = 0$ Le reste est nul, donc l'ordre de multiplicité de 2 pour $A$ est au moins 2. 10. **Diviser encore par $(x-2)$ :** Nouveau quotient coefficients : $[1, -1, 2, -2, 1, -1]$ 11. **Tester $x=2$ sur ce nouveau quotient :** - $b_0=1$ - $b_1=1 \times 2 + (-1) = 1$ - $b_2=1 \times 2 + 2 = 4$ - $b_3=4 \times 2 + (-2) = 6$ - $b_4=6 \times 2 + 1 = 13$ - $b_5=13 \times 2 + (-1) = 25$ Le reste n'est pas nul, donc l'ordre de multiplicité de 2 est 2. 12. **Tester $x=1$ pour $B(x)$ :** Coefficients $B$: $[1, -4, 6, -6, 5, -2]$ - $b_0=1$ - $b_1=1 \times 1 + (-4) = -3$ - $b_2=-3 \times 1 + 6 = 3$ - $b_3=3 \times 1 + (-6) = -3$ - $b_4=-3 \times 1 + 5 = 2$ - $b_5=2 \times 1 + (-2) = 0$ Racine 1 pour $B$. 13. **Diviser $B$ par $(x-1)$ :** Quotient : $[1, -3, 3, -3, 2]$ 14. **Tester à nouveau $x=1$ sur le quotient :** - $b_0=1$ - $b_1=1 \times 1 + (-3) = -2$ - $b_2=-2 \times 1 + 3 = 1$ - $b_3=1 \times 1 + (-3) = -2$ - $b_4=-2 \times 1 + 2 = 0$ Racine simple, ordre 1. 15. **Tester $x=2$ pour $B(x)$ :** - $b_0=1$ - $b_1=1 \times 2 + (-4) = -2$ - $b_2=-2 \times 2 + 6 = 2$ - $b_3=2 \times 2 + (-6) = -2$ - $b_4=-2 \times 2 + 5 = 1$ - $b_5=1 \times 2 + (-2) = 0$ Racine 2 pour $B$. 16. **Diviser $B$ par $(x-2)$ :** Quotient : $[1, -2, 2, -2, 1]$ 17. **Tester à nouveau $x=2$ sur le quotient :** - $b_0=1$ - $b_1=1 \times 2 + (-2) = 0$ - $b_2=0 \times 2 + 2 = 2$ - $b_3=2 \times 2 + (-2) = 2$ - $b_4=2 \times 2 + 1 = 5$ Reste non nul, ordre 1. **Conclusion :** - $1$ est racine simple de $A$ et $B$. - $2$ est racine double de $A$ et racine simple de $B$.