1. **Énoncé du problème :** On a les polynômes $$A(x) = x^7 - 5x^6 + 10x^5 - 14x^4 + 17x^3 - 13x^2 + 8x - 4$$ $$B(x) = x^5 - 4x^4 + 6x^3 - 6x^2 + 5x - 2$$ Montrer que 1 et 2 sont racines de $A$ et $B$, et déterminer leurs ordres de multiplicité. 2. **Formule et règles importantes :** Une racine $r$ d'un polynôme $P(x)$ est de multiplicité $m$ si $(x-r)^m$ divise $P(x)$ mais $(x-r)^{m+1}$ ne le divise pas. Pour vérifier si $r$ est racine, on calcule $P(r)$. Pour la multiplicité, on dérive $P$ et on vérifie si $P'(r)=0$, $P''(r)=0$, etc. 3. **Calculs pour $A(x)$ :** - Calcul de $A(1)$ : $$1^7 - 5\times1^6 + 10\times1^5 - 14\times1^4 + 17\times1^3 - 13\times1^2 + 8\times1 - 4 = 1 - 5 + 10 - 14 + 17 - 13 + 8 - 4 = 0$$ Donc 1 est racine de $A$. - Calcul de $A'(x)$ : $$A'(x) = 7x^6 - 30x^5 + 50x^4 - 56x^3 + 51x^2 - 26x + 8$$ - Calcul de $A'(1)$ : $$7 - 30 + 50 - 56 + 51 - 26 + 8 = 4 \neq 0$$ Donc la multiplicité de la racine 1 dans $A$ est 1. - Calcul de $A(2)$ : $$2^7 - 5\times2^6 + 10\times2^5 - 14\times2^4 + 17\times2^3 - 13\times2^2 + 8\times2 - 4 = 128 - 320 + 320 - 224 + 136 - 52 + 16 - 4 = 0$$ Donc 2 est racine de $A$. - Calcul de $A'(2)$ : $$7\times64 - 30\times32 + 50\times16 - 56\times8 + 51\times4 - 26\times2 + 8 = 448 - 960 + 800 - 448 + 204 - 52 + 8 = 0$$ - Calcul de $A''(x)$ : $$A''(x) = 42x^5 - 150x^4 + 200x^3 - 168x^2 + 102x - 26$$ - Calcul de $A''(2)$ : $$42\times32 - 150\times16 + 200\times8 - 168\times4 + 102\times2 - 26 = 1344 - 2400 + 1600 - 672 + 204 - 26 = 50 \neq 0$$ Donc la multiplicité de la racine 2 dans $A$ est 2. 4. **Calculs pour $B(x)$ :** - Calcul de $B(1)$ : $$1 - 4 + 6 - 6 + 5 - 2 = 0$$ Donc 1 est racine de $B$. - Calcul de $B'(x)$ : $$5x^4 - 16x^3 + 18x^2 - 12x + 5$$ - Calcul de $B'(1)$ : $$5 - 16 + 18 - 12 + 5 = 0$$ - Calcul de $B''(x)$ : $$20x^3 - 48x^2 + 36x - 12$$ - Calcul de $B''(1)$ : $$20 - 48 + 36 - 12 = -4 \neq 0$$ Donc la multiplicité de la racine 1 dans $B$ est 2. - Calcul de $B(2)$ : $$32 - 64 + 48 - 24 + 10 - 2 = 0$$ Donc 2 est racine de $B$. - Calcul de $B'(2)$ : $$5\times16 - 16\times8 + 18\times4 - 12\times2 + 5 = 80 - 128 + 72 - 24 + 5 = 5 \neq 0$$ Donc la multiplicité de la racine 2 dans $B$ est 1. **Réponse finale :** - Pour $A$, 1 est racine simple (multiplicité 1), 2 est racine double (multiplicité 2). - Pour $B$, 1 est racine double (multiplicité 2), 2 est racine simple (multiplicité 1).