1. Énonçons le problème : Trouver les racines de la fonction $f(x) = 5x^3 - x^2 + x$. 2. La racine d'une fonction est la valeur de $x$ pour laquelle $f(x) = 0$. 3. Posons l'équation : $$5x^3 - x^2 + x = 0$$ 4. Factorisons l'expression en mettant $x$ en facteur : $$x(5x^2 - x + 1) = 0$$ 5. Pour que le produit soit nul, il faut que l'un des facteurs soit nul : - $x = 0$ - ou $5x^2 - x + 1 = 0$ 6. Résolvons l'équation quadratique $5x^2 - x + 1 = 0$ en utilisant la formule du discriminant : $$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \times 5 \times 1 = 1 - 20 = -19$$ 7. Comme $\Delta < 0$, il n'y a pas de racines réelles pour cette équation quadratique. 8. Conclusion : La seule racine réelle de $f(x)$ est $$\boxed{0}$$