1. Énoncé du problème : Soit $P : x \mapsto ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$. On veut trouver la somme et le produit des racines de $P$ lorsque son discriminant $\Delta$ est strictement positif, et montrer pourquoi ces relations sont vraies. 2. Formule du discriminant : $$\Delta = b^2 - 4ac$$ 3. Si $\Delta > 0$, le polynôme $P$ admet deux racines réelles distinctes $x_1$ et $x_2$ données par la formule quadratique : $$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$ 4. Somme des racines : $$x_1 + x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-b - \sqrt{\Delta} - b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = \frac{\cancel{-2}b}{\cancel{2}a} = -\frac{b}{a}$$ 5. Produit des racines : $$x_1 \times x_2 = \left(\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\right) \times \left(\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\right) = \frac{(-b)^2 - (\sqrt{\Delta})^2}{4a^2} = \frac{b^2 - \Delta}{4a^2}$$ 6. En remplaçant $\Delta$ par sa valeur : $$\frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{b^2 - b^2 + 4ac}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{\cancel{4}ac}{\cancel{4}a^2} = \frac{c}{a}$$ 7. Conclusion : - La somme des racines est $-\frac{b}{a}$. - Le produit des racines est $\frac{c}{a}$. Ces relations sont issues directement de la formule quadratique et de la factorisation du polynôme $P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$.