1. **Énoncé du problème :** Vérifier que $-2$ est racine de $P(x) = -2x^3 - x^2 + 8x + 4$. 2. **Formule utilisée :** Pour vérifier si $a$ est racine de $P(x)$, calculer $P(a)$. Si $P(a) = 0$, alors $a$ est racine. 3. **Calcul :** Calculons $P(-2)$ : $$P(-2) = -2(-2)^3 - (-2)^2 + 8(-2) + 4 = -2(-8) - 4 - 16 + 4 = 16 - 4 - 16 + 4 = 0$$ 4. **Conclusion :** Puisque $P(-2) = 0$, $-2$ est bien racine de $P(x)$. 5. **Division euclidienne :** Divisons $P(x)$ par $(x + 2)$ pour trouver $Q(x)$ tel que $P(x) = (x + 2)Q(x)$. Effectuons la division : - Dividende : $-2x^3 - x^2 + 8x + 4$ - Diviseur : $x + 2$ Le quotient est $Q(x) = -2x^2 + 3x + 2$. 6. **Vérification que $-\frac{1}{2}$ est racine de $Q(x)$ :** Calculons $Q(-\frac{1}{2})$ : $$Q\left(-\frac{1}{2}\right) = -2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 3\left(-\frac{1}{2}\right) + 2 = -2\times \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2 = -\frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 2 = 0$$ Donc $-\frac{1}{2}$ est racine de $Q(x)$. 7. **Factorisation complète de $P(x)$ :** Puisque $-\frac{1}{2}$ est racine de $Q(x)$, divisons $Q(x)$ par $(x + \frac{1}{2})$ : $$Q(x) = (x + \frac{1}{2})(-2x + 4)$$ Donc : $$P(x) = (x + 2)(x + \frac{1}{2})(-2x + 4)$$ On peut aussi écrire : $$P(x) = (x + 2)(2x + 1)(-2x + 4)$$ **Réponse finale :** $$P(x) = (x + 2)(2x + 1)(-2x + 4)$$