1. **Énoncé du problème :** Vérifier que 3 est une racine du polynôme $P(x) = -2x^3 + 7x^2 + 7x - 30$. 2. **Formule utilisée :** Pour vérifier si $x = 3$ est une racine, on calcule $P(3)$ et on vérifie si $P(3) = 0$. 3. **Calcul de $P(3)$ :** $$P(3) = -2 \times 3^3 + 7 \times 3^2 + 7 \times 3 - 30$$ $$= -2 \times 27 + 7 \times 9 + 21 - 30$$ $$= -54 + 63 + 21 - 30$$ $$= ( -54 + 63 ) + (21 - 30)$$ $$= 9 - 9 = 0$$ 4. **Conclusion :** Comme $P(3) = 0$, 3 est bien une racine de $P(x)$. --- 1. **Énoncé du problème :** Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que $$P(x) = (x-3)(ax^2 + bx + c)$$ 2. **Méthode :** Effectuer la division de $P(x)$ par $(x-3)$ ou développer et identifier les coefficients. 3. **Développement :** $$ (x-3)(ax^2 + bx + c) = ax^3 + bx^2 + cx - 3ax^2 - 3bx - 3c $$ $$= ax^3 + (b - 3a)x^2 + (c - 3b)x - 3c$$ 4. **Identification avec $P(x) = -2x^3 + 7x^2 + 7x - 30$ :** $$a = -2$$ $$b - 3a = 7 \Rightarrow b - 3(-2) = 7 \Rightarrow b + 6 = 7 \Rightarrow b = 1$$ $$c - 3b = 7 \Rightarrow c - 3(1) = 7 \Rightarrow c - 3 = 7 \Rightarrow c = 10$$ $$-3c = -30 \Rightarrow -3 \times 10 = -30$$ (vérification correcte) 5. **Résultat :** $$a = -2, \quad b = 1, \quad c = 10$$ --- 1. **Énoncé du problème :** Soit $Q(x) = -2x^2 + x + 10$. 2. **a) Factoriser $Q(x)$ :** 3. **Méthode :** Chercher les racines de $Q(x)$ en résolvant $Q(x) = 0$. 4. **Calcul du discriminant :** $$\Delta = 1^2 - 4 \times (-2) \times 10 = 1 + 80 = 81$$ 5. **Racines :** $$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \times (-2)} = \frac{-1 - 9}{-4} = \frac{-10}{-4} = \frac{5}{2}$$ $$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \times (-2)} = \frac{-1 + 9}{-4} = \frac{8}{-4} = -2$$ 6. **Factorisation :** $$Q(x) = -2(x - \frac{5}{2})(x + 2)$$ --- 1. **b) Factorisation de $P(x)$ :** 2. On a $$P(x) = (x-3)(ax^2 + bx + c) = (x-3)Q(x) = (x-3)(-2x^2 + x + 10)$$ 3. En utilisant la factorisation de $Q(x)$ : $$P(x) = (x-3) \times -2 (x - \frac{5}{2})(x + 2) = -2 (x-3)(x - \frac{5}{2})(x + 2)$$ --- 1. **c) Résoudre $P(x) = 0$ :** 2. $P(x) = 0$ équivaut à $$-2 (x-3)(x - \frac{5}{2})(x + 2) = 0$$ 3. Les solutions sont donc : $$x = 3, \quad x = \frac{5}{2}, \quad x = -2$$ **Réponse finale :** Les racines de $P(x)$ sont $3$, $\frac{5}{2}$ et $-2$.