1. **Énoncé du problème :** Trouver toutes les solutions de l'équation $X^n = 1$ dans $\mathbb{C}^*$ et montrer que cet ensemble forme un groupe multiplicatif. 2. **Formule et règles importantes :** L'équation $X^n = 1$ dans $\mathbb{C}$ correspond aux racines $n$-ièmes de l'unité. Ces solutions sont données par : $$X_k = e^{\frac{2i\pi k}{n}} \quad \text{pour } k=0,1,\ldots,n-1$$ Ces racines sont des nombres complexes sur le cercle unité dans le plan complexe. 3. **Travail intermédiaire :** - Chaque $X_k$ satisfait $X_k^n = \left(e^{\frac{2i\pi k}{n}}\right)^n = e^{2i\pi k} = 1$. - L'ensemble $\mu_n = \{X_0, X_1, \ldots, X_{n-1}\}$ est donc l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité. 4. **Montrer que $\mu_n$ est un groupe multiplicatif :** - **Fermeture :** Pour $X_j, X_k \in \mu_n$, $X_j X_k = e^{\frac{2i\pi j}{n}} e^{\frac{2i\pi k}{n}} = e^{\frac{2i\pi (j+k)}{n}} \in \mu_n$ (modulo $n$ sur l'indice). - **Élément neutre :** $X_0 = e^{0} = 1$ est dans $\mu_n$. - **Inverse :** Pour $X_k$, l'inverse est $X_k^{-1} = e^{-\frac{2i\pi k}{n}} = X_{n-k}$ qui est aussi dans $\mu_n$. - **Associativité :** Héritée de la multiplication complexe. 5. **Conclusion :** L'ensemble des solutions de $X^n=1$ dans $\mathbb{C}^*$ est le groupe multiplicatif cyclique $\mu_n$ formé par les racines $n$-ièmes de l'unité. **Réponse finale :** $$\mu_n = \{e^{\frac{2i\pi k}{n}} \mid k=0,1,\ldots,n-1\}$$ est un groupe multiplicatif cyclique d'ordre $n$.