1. Énonçons le problème : Nous avons une suite arithmétique $(U_n)$ telle que $U_2=0$ et $3U_1 + 7U_4 = -9$. Nous devons trouver la raison $r$ de cette suite. 2. Rappel : Dans une suite arithmétique, chaque terme s'obtient en ajoutant la raison $r$ au terme précédent. La formule générale est $$U_n = U_1 + (n-1)r.$$ 3. Exprimons $U_2$ et $U_4$ en fonction de $U_1$ et $r$ : $$U_2 = U_1 + r,$$ $$U_4 = U_1 + 3r.$$ 4. Utilisons la donnée $U_2 = 0$ : $$U_1 + r = 0 \\ \Rightarrow U_1 = -r.$$ 5. Substituons $U_1$ et $U_4$ dans l'équation $3U_1 + 7U_4 = -9$ : $$3(-r) + 7(-r + 3r) = -9,$$ $$-3r + 7(2r) = -9,$$ $$-3r + 14r = -9,$$ $$11r = -9.$$ 6. Résolvons pour $r$ : $$r = \frac{-9}{11}.$$ La raison de la suite arithmétique est donc $r = -\frac{9}{11}$.