1. Énoncé du problème : Déterminer le rang de la matrice $$A_m = \begin{pmatrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & m \\ 1 & 3 & 2\end{pmatrix}$$ en fonction de la valeur de $m$. 2. Rappel : Le rang d'une matrice est le nombre maximal de lignes (ou colonnes) linéairement indépendantes. 3. Calculons le déterminant de la matrice pour voir si elle est inversible (rang 3) : $$\det(A_m) = 1 \times \begin{vmatrix}4 & m \\ 3 & 2\end{vmatrix} - 2 \times \begin{vmatrix}2 & m \\ 1 & 2\end{vmatrix} + 1 \times \begin{vmatrix}2 & 4 \\ 1 & 3\end{vmatrix}$$ 4. Calcul des mineurs : $$\begin{vmatrix}4 & m \\ 3 & 2\end{vmatrix} = 4 \times 2 - 3 \times m = 8 - 3m$$ $$\begin{vmatrix}2 & m \\ 1 & 2\end{vmatrix} = 2 \times 2 - 1 \times m = 4 - m$$ $$\begin{vmatrix}2 & 4 \\ 1 & 3\end{vmatrix} = 2 \times 3 - 1 \times 4 = 6 - 4 = 2$$ 5. Substitution dans le déterminant : $$\det(A_m) = 1 \times (8 - 3m) - 2 \times (4 - m) + 1 \times 2 = (8 - 3m) - 2(4 - m) + 2$$ 6. Développons et simplifions : $$= 8 - 3m - 8 + 2m + 2 = (8 - 8 + 2) + (-3m + 2m) = 2 - m$$ 7. Conclusion sur le rang : - Si $\det(A_m) \neq 0$, c'est-à-dire $2 - m \neq 0 \Rightarrow m \neq 2$, alors $\mathrm{rang}(A_m) = 3$. - Si $m = 2$, alors $\det(A_m) = 0$ et le rang est inférieur à 3. 8. Étudions le cas $m=2$ : $$A_2 = \begin{pmatrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 3 & 2\end{pmatrix}$$ 9. Calculons le rang en réduisant la matrice : Soustrayons $2$ fois la première ligne à la deuxième : $$L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1 = (2 - 2 \times 1, 4 - 2 \times 2, 2 - 2 \times 1) = (0, 0, 0)$$ 10. Soustrayons la première ligne à la troisième : $$L_3 \leftarrow L_3 - L_1 = (1 - 1, 3 - 2, 2 - 1) = (0, 1, 1)$$ 11. La matrice réduite est : $$\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}$$ 12. Les lignes non nulles sont la première et la troisième, donc le rang est 2. 13. Résumé final : $$\mathrm{rang}(A_m) = \begin{cases}3 & \text{si } m \neq 2 \\ 2 & \text{si } m = 2\end{cases}$$