1. Énonçons le problème : Montrer que $$\frac{U_{n+1}}{U_n} = \frac{n}{n+2}$$ où $$U_n = \frac{1}{n(n+1)}$$. 2. Écrivons les expressions de $$U_n$$ et $$U_{n+1}$$ : $$U_n = \frac{1}{n(n+1)}$$ $$U_{n+1} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}$$ 3. Calculons le rapport $$\frac{U_{n+1}}{U_n}$$ : $$\frac{U_{n+1}}{U_n} = \frac{\frac{1}{(n+1)(n+2)}}{\frac{1}{n(n+1)}}$$ 4. Simplifions la fraction complexe en multipliant par l'inverse : $$\frac{U_{n+1}}{U_n} = \frac{1}{(n+1)(n+2)} \times \frac{n(n+1)}{1}$$ 5. Simplifions en annulant le facteur commun $n+1$ : $$\frac{U_{n+1}}{U_n} = \frac{\cancel{n+1} \times n}{\cancel{n+1} \times (n+2)} = \frac{n}{n+2}$$ 6. Conclusion : Nous avons bien démontré que $$\frac{U_{n+1}}{U_n} = \frac{n}{n+2}$$.