1. **Énoncé du problème :** Étudier le signe de la fonction $g$ définie par $g(x) = x^2 - 5x + 4$ sur $\mathbb{R}$. 2. **Formule et règles importantes :** Pour étudier le signe d'un polynôme du second degré $ax^2 + bx + c$, on calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$. - Si $\Delta > 0$, le polynôme s'annule en deux points réels distincts et change de signe entre ces racines. - Si $\Delta = 0$, le polynôme s'annule en un point et ne change pas de signe. - Si $\Delta < 0$, le polynôme ne s'annule pas et garde le même signe que $a$. 3. **Calcul du discriminant :** $$\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 25 - 16 = 9 > 0$$ 4. **Calcul des racines :** $$x_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4$$ 5. **Étude du signe :** - Le coefficient devant $x^2$ est $1 > 0$, donc la parabole est tournée vers le haut. - La fonction $g(x)$ est positive en dehors des racines et négative entre les racines. 6. **Conclusion :** $$g(x) \geq 0 \text{ pour } x \leq 1 \text{ ou } x \geq 4$$ $$g(x) < 0 \text{ pour } 1 < x < 4$$