1. Étudions le signe du polynôme $a) \ (x - 3)^2 - 16$. Le polynôme est une différence de carrés : $$ (x - 3)^2 - 16 = (x - 3 - 4)(x - 3 + 4) = (x - 7)(x + 1). $$ Les racines sont $x=7$ et $x=-1$. Le signe du produit $(x - 7)(x + 1)$ est positif quand les deux facteurs ont le même signe, négatif sinon. Donc : - Pour $x < -1$, $(x - 7)<0$ et $(x + 1)<0$, produit positif. - Pour $-1 < x < 7$, les facteurs ont des signes opposés, produit négatif. - Pour $x > 7$, les deux facteurs sont positifs, produit positif. 2. Étudions le signe du polynôme $b) \ - (2x - 5)^2 - 81$. On remarque que $(2x - 5)^2 \geq 0$ pour tout $x$. Donc $-(2x - 5)^2 - 81 \leq -81 < 0$. Le polynôme est toujours strictement négatif. 3. Étudions le signe du polynôme $c) \ 1 - (5x + 3)^2$. C'est une différence de carrés : $$ 1 - (5x + 3)^2 = (1 - (5x + 3))(1 + (5x + 3)) = (1 - 5x - 3)(1 + 5x + 3) = (-5x - 2)(5x + 4). $$ Les racines sont $x = -\frac{2}{5}$ et $x = -\frac{4}{5}$. Le signe du produit $(-5x - 2)(5x + 4)$ est positif quand les deux facteurs ont le même signe. - Pour $x < -\frac{4}{5}$, les deux facteurs sont positifs, produit positif. - Pour $-\frac{4}{5} < x < -\frac{2}{5}$, les facteurs ont des signes opposés, produit négatif. - Pour $x > -\frac{2}{5}$, les deux facteurs sont négatifs, produit positif. 4. Étudions le signe du polynôme $d) \ 4x^2 + 4x + 7$. Calculons le discriminant : $$ \Delta = 4^2 - 4 \times 4 \times 7 = 16 - 112 = -96 < 0. $$ Le polynôme n'a pas de racines réelles et le coefficient de $x^2$ est positif. Donc $4x^2 + 4x + 7 > 0$ pour tout $x$. \textbf{Réponse finale} : - a) positif pour $x < -1$ ou $x > 7$, négatif entre $-1$ et $7$. - b) toujours négatif. - c) positif pour $x < -\frac{4}{5}$ ou $x > -\frac{2}{5}$, négatif entre ces deux valeurs. - d) toujours positif.