1. Énonçons le problème : Simplifier le numérateur de l'expression $$\frac{\cos^2 x - 2 \cos x + 1}{1 - \cos^2 x}$$. 2. Observons le numérateur : $$\cos^2 x - 2 \cos x + 1$$. 3. Cette expression est une forme quadratique en $$\cos x$$, qui peut être factorisée comme un carré parfait : $$\cos^2 x - 2 \cos x + 1 = (\cos x - 1)^2$$. 4. En effet, en développant $(\cos x - 1)^2$, on obtient : $$ (\cos x - 1)^2 = \cos^2 x - 2 \cos x + 1 $$ 5. Ainsi, le numérateur simplifié est : $$ (1 - \cos x)^2 $$ (remarquez que $(\cos x - 1)^2 = (1 - \cos x)^2$ car le carré annule le signe). 6. En résumé, le numérateur est simplifié en un carré parfait de la différence entre 1 et $$\cos x$$. Ceci explique la simplification du numérateur.