1. Énonçons le problème : Simplifier l'expression $$c = \sqrt{x^2 + 2x + 1} - \sqrt{x^2 - 2x + c}$$. 2. Observons que $$x^2 + 2x + 1$$ est un trinôme qui peut être factorisé comme $$(x+1)^2$$. 3. Donc, $$\sqrt{x^2 + 2x + 1} = \sqrt{(x+1)^2} = |x+1|$$, car la racine carrée d'un carré est la valeur absolue. 4. Pour le second terme, $$\sqrt{x^2 - 2x + c}$$, il semble y avoir une confusion car la variable $$c$$ apparaît dans l'expression sous la racine et dans le résultat. Supposons que ce soit une erreur de frappe et que ce soit $$\sqrt{x^2 - 2x + 1}$$. 5. Factorisons alors $$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$$. 6. Ainsi, $$\sqrt{x^2 - 2x + 1} = \sqrt{(x-1)^2} = |x-1|$$. 7. L'expression devient donc $$c = |x+1| - |x-1|$$. 8. Pour simplifier $$|x+1| - |x-1|$$, considérons les intervalles de $$x$$ : - Si $$x \geq 1$$, alors $$|x+1| = x+1$$ et $$|x-1| = x-1$$, donc $$c = (x+1) - (x-1) = 2$$. - Si $$-1 \leq x < 1$$, alors $$|x+1| = x+1$$ et $$|x-1| = 1 - x$$, donc $$c = (x+1) - (1 - x) = 2x$$. - Si $$x < -1$$, alors $$|x+1| = -(x+1) = -x -1$$ et $$|x-1| = -(x-1) = -x +1$$, donc $$c = (-x -1) - (-x +1) = -2$$. 9. Résumé : $$ c = \begin{cases} 2 & \text{si } x \geq 1 \\ 2x & \text{si } -1 \leq x < 1 \\ -2 & \text{si } x < -1 \end{cases} $$ Ceci est la forme simplifiée de l'expression initiale.