1. Énonçons le problème : Calculer l'expression $$\frac{a}{(a-b)(a-c)} + \frac{b}{(b-a)(b-c)} + \frac{c}{(c-a)(c-b)}$$ où $a$, $b$, et $c$ sont des variables distinctes. 2. Rappelons une propriété importante : cette expression est une somme de fractions rationnelles avec des dénominateurs produits de différences entre les variables. 3. Pour simplifier, mettons toutes les fractions sur un dénominateur commun, qui est le produit $$ (a-b)(a-c)(b-c) $$. 4. Réécrivons chaque terme avec ce dénominateur commun : $$\frac{a(b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)} + \frac{b(c-a)}{(b-a)(b-c)(c-a)} + \frac{c(a-b)}{(c-a)(c-b)(a-b)}$$ 5. Observons que $$ (b-a) = - (a-b) $$ et $$ (c-a) = - (a-c) $$, donc nous pouvons ajuster les signes pour que tous les dénominateurs soient $$ (a-b)(a-c)(b-c) $$. 6. En tenant compte des signes, l'expression devient : $$\frac{a(b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)} - \frac{b(a-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)} + \frac{c(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}$$ 7. Mettons tout sur le même dénominateur et combinons les numérateurs : $$\frac{a(b-c) - b(a-c) + c(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}$$ 8. Développons le numérateur : $$a b - a c - b a + b c + c a - c b$$ 9. Simplifions en regroupant les termes : $$a b - b a - a c + c a + b c - c b = 0$$ car chaque terme a son opposé. 10. Donc, le numérateur est 0, ce qui implique que l'expression entière est : $$\boxed{0}$$ La somme vaut donc zéro pour tous $a$, $b$, $c$ distincts.