1. Énoncé du problème : Calculer la somme $$S_n = \sum_{k=0}^{n-1} (n-k)$$ pour $$n \in \mathbb{N}^*$$. 2. Formule utilisée : La somme d'une suite arithmétique est donnée par $$\sum_{k=0}^{m} a_k = (m+1) \times \frac{a_0 + a_m}{2}$$. 3. Calcul intermédiaire : Ici, les termes sont $$n, n-1, n-2, \ldots, 1$$ car $$k$$ va de 0 à $$n-1$$. 4. Donc, $$S_n = n + (n-1) + (n-2) + \cdots + 1$$. 5. Cette somme est la somme des $$n$$ premiers entiers naturels, donc $$$S_n = \frac{n(n+1)}{2}$$$. 6. Conclusion : La somme $$S_n$$ est égale à $$\frac{n(n+1)}{2}$$. --- 1. Énoncé du problème : Calculer la somme $$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$$. 2. Formule utilisée : On utilise la décomposition en éléments simples pour simplifier la somme. 3. Décomposition : $$\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1} + \frac{C}{k+2}$$. 4. Trouvons $$A, B, C$$ : Multiplions par $$k(k+1)(k+2)$$ : $$1 = A(k+1)(k+2) + B k (k+2) + C k (k+1)$$. 5. En posant $$k = 0$$ : $$1 = A \times 1 \times 2 = 2A \Rightarrow A = \frac{1}{2}$$. 6. En posant $$k = -1$$ : $$1 = B \times (-1) \times 1 = -B \Rightarrow B = -1$$. 7. En posant $$k = -2$$ : $$1 = C \times (-2) \times (-1) = 2C \Rightarrow C = \frac{1}{2}$$. 8. Donc, $$\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1/2}{k} - \frac{1}{k+1} + \frac{1/2}{k+2}$$. 9. La somme devient : $$\sum_{k=1}^n \left( \frac{1/2}{k} - \frac{1}{k+1} + \frac{1/2}{k+2} \right) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+1} + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+2}$$. 10. Réécrivons les sommes : $$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k+1} = \sum_{j=2}^{n+1} \frac{1}{j}$$, $$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k+2} = \sum_{j=3}^{n+2} \frac{1}{j}$$. 11. En substituant : $$S = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \sum_{j=2}^{n+1} \frac{1}{j} + \frac{1}{2} \sum_{j=3}^{n+2} \frac{1}{j}$$. 12. Regroupons : $$S = \frac{1}{2} \left(1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} \right) - \left( \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n+1} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n+2} \right)$$. 13. Simplifions en annulant les termes communs : $$S = \frac{1}{2} \times 1 - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{n+2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2(n+2)}$$. 14. Mettons au même dénominateur $$2(n+1)(n+2)$$ : $$S = \frac{(n+1)(n+2)}{2(n+1)(n+2)} - \frac{2(n+2)}{2(n+1)(n+2)} + \frac{(n+1)}{2(n+1)(n+2)}$$. 15. Calculons le numérateur : $$(n+1)(n+2) - 2(n+2) + (n+1) = (n^2 + 3n + 2) - 2n - 4 + n + 1 = n^2 + 2n -1$$. 16. Donc, $$S = \frac{n^2 + 2n -1}{2(n+1)(n+2)}$$. 17. Conclusion : $$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{n^2 + 2n -1}{2(n+1)(n+2)}$$.