1. **Énoncé du problème :** Montrer que l’ensemble $F = \{v = (x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 ; x_1 - x_2 + 2x_3 = 0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$. 2. **Formule et règles importantes :** Un sous-espace vectoriel doit vérifier trois propriétés : - Contenir le vecteur nul. - Être stable par addition. - Être stable par multiplication scalaire. 3. **Étape 1 : Vérification que $F$ contient le vecteur nul** Le vecteur nul est $(0,0,0)$. Calculons $x_1 - x_2 + 2x_3 = 0 - 0 + 2\times0 = 0$. Donc, $(0,0,0) \in F$. 4. **Étape 2 : Stabilité par addition** Soient $u = (x_1, x_2, x_3)$ et $v = (y_1, y_2, y_3)$ dans $F$. Alors $x_1 - x_2 + 2x_3 = 0$ et $y_1 - y_2 + 2y_3 = 0$. Calculons $u+v = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, x_3 + y_3)$. On a: $$ (x_1 + y_1) - (x_2 + y_2) + 2(x_3 + y_3) = (x_1 - x_2 + 2x_3) + (y_1 - y_2 + 2y_3) = 0 + 0 = 0 $$ Donc $u+v \in F$. 5. **Étape 3 : Stabilité par multiplication scalaire** Soit $u = (x_1, x_2, x_3) \in F$ et $\lambda \in \mathbb{R}$. Calculons $\lambda u = (\lambda x_1, \lambda x_2, \lambda x_3)$. On a: $$ \lambda x_1 - \lambda x_2 + 2 \lambda x_3 = \lambda (x_1 - x_2 + 2x_3) = \lambda \times 0 = 0 $$ Donc $\lambda u \in F$. 6. **Conclusion :** L’ensemble $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ car il contient le vecteur nul, est stable par addition et par multiplication scalaire. **Réponse finale :** $F$ est un $\mathbb{R}$-sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$.