1. Énoncé du problème : Soit $(G, \cdot)$ un groupe et $S$ un sous-groupe de $G$. On définit $C_S = \{x \in G \mid x \cdot y = y \cdot x \ \forall y \in S\}$. Il faut vérifier que $C_S$ est un sous-groupe de $G$.\n\n2. Rappel de la définition d'un sous-groupe : Un sous-ensemble $H$ de $G$ est un sous-groupe si et seulement si \n- $H$ est non vide,\n- $H$ est stable par le produit du groupe,\n- $H$ est stable par l'inverse.\n\n3. Vérification que $C_S$ est non vide :\nL'élément neutre $e$ de $G$ commute avec tout élément de $G$, donc en particulier avec tout $y \in S$. Ainsi, $e \in C_S$.\n\n4. Stabilité par le produit :\nSoient $x, x' \in C_S$. Pour tout $y \in S$, on a \n$$x \cdot y = y \cdot x \quad \text{et} \quad x' \cdot y = y \cdot x'.$$\nOn veut montrer que $x \cdot x' \in C_S$, c'est-à-dire que $(x \cdot x') \cdot y = y \cdot (x \cdot x')$.\nCalculons :\n$$ (x \cdot x') \cdot y = x \cdot (x' \cdot y) = x \cdot (y \cdot x') = (x \cdot y) \cdot x' = (y \cdot x) \cdot x' = y \cdot (x \cdot x').$$\nDonc $x \cdot x' \in C_S$.\n\n5. Stabilité par l'inverse :\nSoit $x \in C_S$. Pour tout $y \in S$, on a $x \cdot y = y \cdot x$. Multiplions à gauche par $x^{-1}$ et à droite par $x^{-1}$ :\n$$x^{-1} \cdot x \cdot y \cdot x^{-1} = x^{-1} \cdot y \cdot x \cdot x^{-1} \Rightarrow y \cdot x^{-1} = x^{-1} \cdot y.$$\nDonc $x^{-1} \in C_S$.\n\n6. Conclusion : $C_S$ est un sous-groupe de $G$.\n\n7. Montrer que $S \subset C_S$ si et seulement si $S$ est un sous-groupe commutatif :\n- Si $S \subset C_S$, alors pour tout $x, y \in S$, puisque $x \in C_S$, on a $x \cdot y = y \cdot x$. Donc $S$ est commutatif.\n- Réciproquement, si $S$ est commutatif, alors pour tout $x \in S$ et $y \in S$, $x \cdot y = y \cdot x$, donc $x \in C_S$. Ainsi $S \subset C_S$.\n\nRéponse finale :\n$$C_S \text{ est un sous-groupe de } G \quad \text{et} \quad S \subset C_S \iff S \text{ est commutatif.}$$