1. Énonçons le problème : Soustraire les fractions $$\frac{8x}{x^2 + 8x + 16} - \frac{6}{x^2 + 4x}$$. 2. Identifions les dénominateurs et cherchons un dénominateur commun. Les dénominateurs sont $$x^2 + 8x + 16$$ et $$x^2 + 4x$$. 3. Factorisons les dénominateurs : $$x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2$$ $$x^2 + 4x = x(x + 4)$$ 4. Le dénominateur commun sera donc $$x(x + 4)^2$$. 5. Réécrivons chaque fraction avec ce dénominateur commun : $$\frac{8x}{(x + 4)^2} = \frac{8x \cdot x}{x(x + 4)^2} = \frac{8x^2}{x(x + 4)^2}$$ $$\frac{6}{x(x + 4)} = \frac{6 \cdot (x + 4)}{x(x + 4)^2} = \frac{6(x + 4)}{x(x + 4)^2}$$ 6. Soustrayons les numérateurs : $$8x^2 - 6(x + 4) = 8x^2 - 6x - 24$$ 7. La fraction résultante est : $$\frac{8x^2 - 6x - 24}{x(x + 4)^2}$$ 8. Simplifions le numérateur en mettant en facteur : $$8x^2 - 6x - 24 = 2(4x^2 - 3x - 12)$$ 9. Cherchons à factoriser le trinôme $$4x^2 - 3x - 12$$. 10. Trouvons deux nombres dont le produit est $$4 \times (-12) = -48$$ et la somme est $$-3$$. Ces nombres sont $$6$$ et $$-8$$. 11. Réécrivons le trinôme : $$4x^2 + 6x - 8x - 12$$ 12. Factorisons par regroupement : $$2x(2x + 3) - 4(2x + 3) = (2x - 4)(2x + 3)$$ 13. Simplifions le facteur commun : $$2x - 4 = 2(x - 2)$$ 14. Donc la factorisation complète est : $$2(2x - 4)(2x + 3) = 2 \times 2(x - 2)(2x + 3) = 4(x - 2)(2x + 3)$$ 15. La fraction finale est donc : $$\frac{4(x - 2)(2x + 3)}{x(x + 4)^2}$$ C'est la réponse sous forme développée et réduite pour le numérateur, avec le dénominateur non développé comme demandé.