1. **Énoncé du problème :** Soit la suite $(v_n)$ définie par $v_1$ donné et pour tout naturel $n$, $v_{n+1} = 1 + v_n$. Il faut justifier que pour tout $n$, $v_n > 0$ et prouver que la suite $(u_n)$ définie par $u_n = \frac{1}{v_n}$ est arithmétique. 2. **Justification que $v_n > 0$ pour tout $n$ :** - On sait que $v_1 > 0$ (car donné ou supposé). - La relation de récurrence est $v_{n+1} = 1 + v_n$. - Comme $v_n > 0$, alors $v_{n+1} = 1 + v_n > 1 + 0 = 1 > 0$. - Par récurrence, $v_n > 0$ pour tout $n$. 3. **Montrer que $(u_n)$ est arithmétique :** - La suite $(u_n)$ est définie par $u_n = \frac{1}{v_n}$. - Calculons la différence $u_{n+1} - u_n$ : $$ u_{n+1} - u_n = \frac{1}{v_{n+1}} - \frac{1}{v_n} = \frac{v_n - v_{n+1}}{v_n v_{n+1}}. $$ - Or, $v_{n+1} = 1 + v_n$, donc $$ v_n - v_{n+1} = v_n - (1 + v_n) = -1. $$ - Donc, $$ u_{n+1} - u_n = \frac{-1}{v_n v_{n+1}}. $$ - Comme $v_n > 0$ et $v_{n+1} > 0$, le dénominateur est positif. - Pour que $(u_n)$ soit arithmétique, la différence $u_{n+1} - u_n$ doit être constante. 4. **Vérification de la constance de la différence :** - Calculons explicitement $v_n$ : - La suite $(v_n)$ est définie par $v_{n+1} = v_n + 1$ avec $v_1$ donné. - C'est une suite arithmétique de raison 1, donc $$ v_n = v_1 + (n-1) \times 1 = v_1 + n - 1. $$ - Ainsi, $$ u_{n+1} - u_n = \frac{-1}{v_n v_{n+1}} = \frac{-1}{(v_1 + n - 1)(v_1 + n)}. $$ - Cette expression dépend de $n$, donc la différence n'est pas constante. 5. **Conclusion :** - La suite $(u_n)$ définie par $u_n = \frac{1}{v_n}$ n'est pas arithmétique car la différence $u_{n+1} - u_n$ dépend de $n$. **Remarque :** - Peut-être y a-t-il une erreur dans l'énoncé ou une autre définition de $(u_n)$. - Si $(u_n)$ est définie autrement, merci de préciser. **Résumé :** - $v_n > 0$ pour tout $n$ par récurrence. - $(v_n)$ est arithmétique de raison 1. - $(u_n) = \frac{1}{v_n}$ n'est pas arithmétique.