1. Énoncé du problème : Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que pour tout $n \geq 0$, $u_0 + u_1 + \cdots + u_n = \frac{3n^2 - 5n - 8}{2}$. 2. Rappel : La somme des $n+1$ premiers termes d'une suite arithmétique est donnée par la formule $$S_n = (n+1) \times \frac{u_0 + u_n}{2}.$$ 3. Calcul de $u_0$ : Pour $n=0$, la somme est $S_0 = u_0 = \frac{3\times0^2 - 5\times0 - 8}{2} = \frac{-8}{2} = -4$. 4. Calcul de $u_1$ : Pour $n=1$, la somme est $S_1 = u_0 + u_1 = \frac{3\times1^2 - 5\times1 - 8}{2} = \frac{3 - 5 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5$. On sait que $u_0 = -4$, donc $u_1 = S_1 - u_0 = -5 - (-4) = -1$. 5. Montrons que $u_n = 3n - 4$ : La suite $(u_n)$ est arithmétique, donc $u_n = u_0 + n r$ où $r$ est la raison. Calculons $r = u_1 - u_0 = -1 - (-4) = 3$. Donc $u_n = -4 + 3n = 3n - 4$. 6. Vérification avec la somme : La somme des $n+1$ premiers termes est $$S_n = (n+1) \times \frac{u_0 + u_n}{2} = (n+1) \times \frac{-4 + (3n - 4)}{2} = (n+1) \times \frac{3n - 8}{2}.$$ Développons : $$S_n = \frac{(n+1)(3n - 8)}{2} = \frac{3n^2 - 8n + 3n - 8}{2} = \frac{3n^2 - 5n - 8}{2},$$ ce qui correspond bien à l'énoncé. Réponse finale : $u_0 = -4$, $u_1 = -1$, et $u_n = 3n - 4$.