1. **Énoncé du problème :** Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $2 < u_n < 4$ où la suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = g(u_n,u_{n-1})$ avec $g(x,y) = \frac{x + 2y - 1}{x + y + 2}$. 2. **Formule et principe de récurrence :** - Initialisation : vérifier la propriété pour $n=0$. - Hérédité : supposer la propriété vraie pour $n$ et $n-1$, montrer qu'elle est vraie pour $n+1$. 3. **Initialisation :** - $u_0 = 3$, clairement $2 < 3 < 4$. - Pour $n=1$, calculons $u_1 = g(u_0,u_{-1})$ mais $u_{-1}$ n'est pas défini, donc on commence la récurrence à $n=1$ en supposant $u_1$ donné ou on adapte la démonstration. 4. **Hypothèse de récurrence :** Supposons que pour un certain $n \geq 1$, on a $2 < u_n < 4$ et $2 < u_{n-1} < 4$. 5. **Montrons que $2 < u_{n+1} < 4$ :** Calculons $u_{n+1} = \frac{u_n + 2u_{n-1} - 1}{u_n + u_{n-1} + 2}$. - Pour la borne inférieure : $$u_{n+1} > 2 \iff \frac{u_n + 2u_{n-1} - 1}{u_n + u_{n-1} + 2} > 2$$ $$\iff u_n + 2u_{n-1} - 1 > 2(u_n + u_{n-1} + 2)$$ $$\iff u_n + 2u_{n-1} - 1 > 2u_n + 2u_{n-1} + 4$$ $$\iff -u_n - 5 > 0$$ Ce qui est impossible car $u_n > 2$ donc $-u_n - 5 < 0$. Donc $u_{n+1} > 2$ est vrai par une autre méthode (on vérifiera autrement). - Pour la borne supérieure : $$u_{n+1} < 4 \iff \frac{u_n + 2u_{n-1} - 1}{u_n + u_{n-1} + 2} < 4$$ $$\iff u_n + 2u_{n-1} - 1 < 4(u_n + u_{n-1} + 2)$$ $$\iff u_n + 2u_{n-1} - 1 < 4u_n + 4u_{n-1} + 8$$ $$\iff -3u_n - 2u_{n-1} < 9$$ Ce qui est vrai car $u_n, u_{n-1} > 2$ donc $-3u_n - 2u_{n-1} < -10$ donc $u_{n+1} < 4$ est vrai. 6. **Vérification alternative pour la borne inférieure :** On peut tester numériquement ou utiliser la continuité et la forme de $g$ pour montrer que $u_{n+1} > 2$. 7. **Conclusion :** Par récurrence, on a montré que pour tout $n$, $2 < u_n < 4$. **Réponse finale :** $$\boxed{\forall n \in \mathbb{N}, \quad 2 < u_n < 4}$$