1. **Énoncé du problème :** On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et la relation de récurrence $u_{n+1} = 2u_n - 4$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. 2. **Calcul de $u_n$ en fonction de $n$ :** La relation est une suite arithmético-géométrique. La forme générale est $u_{n+1} = a u_n + b$ avec $a=2$ et $b=-4$. 3. **Formule générale :** Pour ce type de suite, la solution est de la forme $$u_n = A \times 2^n + C$$ où $C$ est la solution particulière constante. 4. **Trouvons $C$ :** On cherche $C$ tel que $C = 2C - 4$ donc $$C = 2C - 4 \Rightarrow C - 2C = -4 \Rightarrow -C = -4 \Rightarrow C = 4.$$ 5. **Trouvons $A$ avec la condition initiale :** $$u_0 = A \times 2^0 + 4 = A + 4 = 1 \Rightarrow A = 1 - 4 = -3.$$ 6. **Formule explicite :** $$\boxed{u_n = -3 \times 2^n + 4}.$$ 7. **Vérification rapide :** Pour $n=0$, $u_0 = -3 \times 1 + 4 = 1$ correct. --- **Réponse finale :** $$u_n = 4 - 3 \times 2^n.$$