1. **Énoncé du problème :** On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = \frac{1}{2}$ et $u_{n+1} = \frac{3u_n}{1+2u_n}$. 2. **Calcul de $u_1$ et $u_2$ :** $$u_1 = \frac{3u_0}{1+2u_0} = \frac{3 \times \frac{1}{2}}{1 + 2 \times \frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{1 + 1} = \frac{\frac{3}{2}}{2} = \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$$ $$u_2 = \frac{3u_1}{1+2u_1} = \frac{3 \times \frac{3}{4}}{1 + 2 \times \frac{3}{4}} = \frac{\frac{9}{4}}{1 + \frac{3}{2}} = \frac{\frac{9}{4}}{\frac{5}{2}} = \frac{9}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{18}{20} = \frac{9}{10}$$ 3. **Définition de la suite $(v_n)$ :** Pour tout $n$, $v_n = \frac{u_n}{1 - u_n}$. 4. **Montrer que $(v_n)$ est géométrique de raison 3 :** Calculons $v_{n+1}$ : $$v_{n+1} = \frac{u_{n+1}}{1 - u_{n+1}} = \frac{\frac{3u_n}{1+2u_n}}{1 - \frac{3u_n}{1+2u_n}} = \frac{\frac{3u_n}{1+2u_n}}{\frac{1+2u_n - 3u_n}{1+2u_n}} = \frac{3u_n}{1+2u_n - 3u_n} = \frac{3u_n}{1 - u_n}$$ Or, $v_n = \frac{u_n}{1 - u_n}$, donc $$v_{n+1} = 3 \times v_n$$ La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison 3. 5. **Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ :** Comme $(v_n)$ est géométrique de raison 3 et $v_0 = \frac{u_0}{1 - u_0} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1$, on a $$v_n = v_0 \times 3^n = 3^n$$ 6. **Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ :** On a $v_n = \frac{u_n}{1 - u_n} = 3^n$, donc $$u_n = v_n (1 - u_n)$$ $$u_n = 3^n - 3^n u_n$$ $$u_n + 3^n u_n = 3^n$$ $$u_n (1 + 3^n) = 3^n$$ $$u_n = \frac{3^n}{1 + 3^n}$$ 7. **Démontrer que $0 < u_n < 1$ :** Pour tout $n$, $3^n > 0$, donc $u_n = \frac{3^n}{1 + 3^n}$ est un quotient de deux nombres positifs avec $1 + 3^n > 3^n$, donc $$0 < u_n < 1$$ 8. **Montrer que $(u_n)$ est croissante :** Calculons $u_{n+1} - u_n$ : $$u_{n+1} - u_n = \frac{3^{n+1}}{1 + 3^{n+1}} - \frac{3^n}{1 + 3^n}$$ Mettons au même dénominateur : $$= \frac{3^{n+1}(1 + 3^n) - 3^n(1 + 3^{n+1})}{(1 + 3^{n+1})(1 + 3^n)}$$ Développons le numérateur : $$= 3^{n+1} + 3^{n+1} 3^n - 3^n - 3^n 3^{n+1} = 3^{n+1} - 3^n$$ Car $3^{n+1} 3^n = 3^n 3^{n+1}$ s'annulent. Factorisons : $$= 3^n (3 - 1) = 2 \times 3^n > 0$$ Le dénominateur est positif, donc $$u_{n+1} - u_n > 0$$ La suite $(u_n)$ est donc strictement croissante. **Réponse finale :** $$u_1 = \frac{3}{4}, \quad u_2 = \frac{9}{10}, \quad v_n = 3^n, \quad u_n = \frac{3^n}{1 + 3^n}, \quad 0 < u_n < 1, \quad (u_n) \text{ est croissante}.$$