1. **Énoncé du problème :** On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1} = \frac{u_n}{5 + 8u_n}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. 2. **Montrer que $u_n > 0$ pour tout $n$ :** - Initialement, $u_0=1 > 0$. - Supposons $u_n > 0$, alors $5 + 8u_n > 5 > 0$. - Donc $u_{n+1} = \frac{u_n}{5 + 8u_n} > 0$. - Par récurrence, $u_n > 0$ pour tout $n$. 3. **Définition de $v_n$ :** On pose $v_n = \frac{1}{u_n} + 2$. 4. **Calcul de $v_0$ :** $$v_0 = \frac{1}{u_0} + 2 = \frac{1}{1} + 2 = 3$$ 5. **Montrer que $(v_n)$ est géométrique de raison 5 :** - Exprimons $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$ : $$v_{n+1} = \frac{1}{u_{n+1}} + 2 = \frac{1}{\frac{u_n}{5 + 8u_n}} + 2 = \frac{5 + 8u_n}{u_n} + 2 = \frac{5}{u_n} + 8 + 2 = 5 \cdot \frac{1}{u_n} + 10$$ - Or $v_n = \frac{1}{u_n} + 2$, donc $\frac{1}{u_n} = v_n - 2$. - Ainsi : $$v_{n+1} = 5(v_n - 2) + 10 = 5v_n - 10 + 10 = 5v_n$$ - Donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $5$. 6. **Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ :** - Puisque $v_0 = 3$ et $v_{n+1} = 5 v_n$, on a : $$v_n = v_0 \times 5^n = 3 \times 5^n$$ 7. **Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ :** - Rappel : $v_n = \frac{1}{u_n} + 2$ donc $$\frac{1}{u_n} = v_n - 2 = 3 \times 5^n - 2$$ - D'où : $$u_n = \frac{1}{3 \times 5^n - 2}$$ 8. **Calcul de la somme $S_n = v_0 + v_1 + \cdots + v_n$ :** - $(v_n)$ géométrique de raison $5$ et premier terme $v_0=3$. - La somme des $n+1$ premiers termes est : $$S_n = v_0 \frac{1 - 5^{n+1}}{1 - 5} = 3 \times \frac{1 - 5^{n+1}}{1 - 5} = 3 \times \frac{1 - 5^{n+1}}{-4} = \frac{3}{4} (5^{n+1} - 1)$$