1. Énoncé du problème : On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel non nul $n$ par $u_n = n$. La proposition à vérifier est : pour tout entier naturel non nul $n$, $u_{2n+1} = 4(2n+1)$. 2. Compréhension de la proposition : La proposition affirme que le terme de rang $2n+1$ de la suite vaut $4(2n+1)$. 3. Calcul du terme $u_{2n+1}$ selon la définition de la suite : Par définition, $u_n = n$, donc $$u_{2n+1} = 2n + 1.$$ 4. Comparaison avec la proposition : La proposition dit que $u_{2n+1} = 4(2n+1) = 8n + 4 + 1 = 8n + 4 + 1$ (corrigé : $4(2n+1) = 8n + 4$). 5. Conclusion : On a $u_{2n+1} = 2n + 1$ d'après la définition, mais la proposition affirme $u_{2n+1} = 8n + 4$. Ces deux expressions ne sont pas égales pour tout $n$. Par exemple, pour $n=1$ : - $u_3 = 3$ d'après la définition. - Proposition : $4(3) = 12$. Donc la proposition est fausse. "Pour tout entier naturel non nul $n$, $u_{2n+1} = 4(2n+1)$" est une proposition fausse.