1. **Énoncé du problème** : Étudier la nature de la suite $(u_n)$ définie par $u_0 \in \mathbb{R}$ avec $u_0 \geq 4$ et la relation de récurrence $u_{n+1} = 2u_n - 3$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. 2. **Type de suite** : La suite est définie par une relation de récurrence linéaire du premier ordre non homogène : $$u_{n+1} = 2u_n - 3$$ 3. **Trouver la solution générale** : - Résoudre l'équation homogène associée : $$u_{n+1} = 2u_n$$ La solution générale de l'homogène est : $$u_n^h = C \times 2^n$$ - Chercher une solution particulière $u_n^p$ constante, posons $u_n^p = k$ : $$k = 2k - 3 \Rightarrow k = 3$$ 4. **Solution générale complète** : $$u_n = u_n^h + u_n^p = C \times 2^n + 3$$ 5. **Déterminer la constante $C$ avec la condition initiale** : $$u_0 = C \times 2^0 + 3 = C + 3$$ Donc : $$C = u_0 - 3$$ 6. **Formule explicite de la suite** : $$u_n = (u_0 - 3) \times 2^n + 3$$ 7. **Nature de la suite selon $u_0$** : - Si $u_0 = 3$, alors $u_n = 3$ pour tout $n$, la suite est constante. - Si $u_0 > 3$, alors $u_0 - 3 > 0$ et $u_n$ croît exponentiellement vers $+\infty$. - Si $u_0 < 3$ (impossible ici car $u_0 \geq 4$), la suite décroîtrait vers $-\infty$. **Conclusion** : La suite $(u_n)$ est une suite géométrique modifiée qui croît exponentiellement si $u_0 > 3$, et est constante si $u_0 = 3$. Ici, avec $u_0 \geq 4$, la suite est strictement croissante et tend vers $+\infty$.