1. **Énoncé du problème :** Montrer par récurrence que $0 \leq U_n \leq 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. 2. **Formule et hypothèses :** On suppose que la suite $(U_n)$ est définie par une relation de récurrence, par exemple $U_{n+1} = U_n - \frac{2}{3}$, avec une condition initiale $U_0$. 3. **Initialisation :** Vérifions la propriété pour $n=0$. Si $0 \leq U_0 \leq 1$, la propriété est vraie au rang 0. 4. **Hérédité :** Supposons que pour un certain $n$, $0 \leq U_n \leq 1$. Montrons que $0 \leq U_{n+1} \leq 1$. 5. **Calcul de $U_{n+1}$ :** $$U_{n+1} = U_n - \frac{2}{3}$$ 6. **Vérification des bornes :** - Pour la borne inférieure : $$U_{n+1} = U_n - \frac{2}{3} \geq 0 \implies U_n \geq \frac{2}{3}$$ - Pour la borne supérieure : $$U_{n+1} = U_n - \frac{2}{3} \leq 1 \implies U_n \leq \frac{5}{3}$$ 7. **Conclusion sur la récurrence :** La propriété $0 \leq U_n \leq 1$ ne peut pas être vraie pour tout $n$ si on soustrait $\frac{2}{3}$ à chaque étape, car $U_n$ décroît de $\frac{2}{3}$ à chaque pas. 8. **Remarque :** Il faut vérifier la définition exacte de la suite $(U_n)$ et la condition initiale pour appliquer la récurrence correctement. **Réponse finale :** Sans condition initiale adaptée, la propriété $0 \leq U_n \leq 1$ ne tient pas pour la suite définie par $U_{n+1} = U_n - \frac{2}{3}$.