1. **Énoncé du problème :** Résoudre le système de deux équations à deux inconnues complexes donné par $$\begin{cases} 6z - 16\frac{1}{2}z = 18 \\ 14z - 20iz = 18i \end{cases}$$ 2. **Simplification de la première équation :** $$6z - 16\frac{1}{2}z = 6z - \frac{33}{2}z = \left(6 - \frac{33}{2}\right)z = \frac{12}{2}z - \frac{33}{2}z = -\frac{21}{2}z$$ Donc la première équation devient $$-\frac{21}{2}z = 18$$ 3. **Résolution de la première équation :** Divisons les deux membres par $-\frac{21}{2}$ : $$z = \frac{18}{-\frac{21}{2}} = 18 \times \frac{2}{-21} = \frac{36}{-21} = -\frac{12}{7}$$ 4. **Simplification de la deuxième équation :** $$14z - 20iz = z(14 - 20i) = 18i$$ 5. **Résolution de la deuxième équation :** Divisons les deux membres par $(14 - 20i)$ : $$z = \frac{18i}{14 - 20i}$$ Pour simplifier, multiplions numérateur et dénominateur par le conjugué $14 + 20i$ : $$z = \frac{18i(14 + 20i)}{(14 - 20i)(14 + 20i)} = \frac{18i \times 14 + 18i \times 20i}{14^2 + 20^2} = \frac{252i + 360i^2}{196 + 400}$$ Sachant que $i^2 = -1$, on a : $$z = \frac{252i - 360}{596} = \frac{-360}{596} + \frac{252}{596}i = -\frac{90}{149} + \frac{63}{149}i$$ 6. **Conclusion :** Le système a pour solutions : - Première équation : $z = -\frac{12}{7}$ (réel) - Deuxième équation : $z = -\frac{90}{149} + \frac{63}{149}i$ (complexe) Ces deux valeurs de $z$ sont distinctes, donc le système n'a pas de solution commune. Il faut vérifier si le système est compatible ou non. **Résumé :** - $z = -\frac{12}{7}$ - $z = -\frac{90}{149} + \frac{63}{149}i$ Le système n'a pas de solution unique commune.