1. **Énoncé du problème :** Résoudre le système linéaire à trois inconnues $x$, $y$, $z$ : $$\begin{cases} 4x + 3y = 11 \\ x + 2y + z = 7 \\ -4x + 2y + 4z = 6 \\ 3x + y - z = 4 \end{cases}$$ 2. **Formule et méthode :** Pour résoudre un système linéaire, on peut utiliser la méthode de substitution, d'élimination ou la méthode matricielle (matrice augmentée et réduction). 3. **Étape 1 : Identifier les équations** - Éq1 : $4x + 3y = 11$ - Éq2 : $x + 2y + z = 7$ - Éq3 : $-4x + 2y + 4z = 6$ - Éq4 : $3x + y - z = 4$ 4. **Étape 2 : Exprimer $x$ à partir de l'équation 1** $$4x + 3y = 11 \implies x = \frac{11 - 3y}{4}$$ 5. **Étape 3 : Substituer $x$ dans les équations 2, 3 et 4** - Éq2 : $\frac{11 - 3y}{4} + 2y + z = 7$ - Éq3 : $-4 \times \frac{11 - 3y}{4} + 2y + 4z = 6$ - Éq4 : $3 \times \frac{11 - 3y}{4} + y - z = 4$ 6. **Étape 4 : Simplifier chaque équation** - Éq2 : $\frac{11 - 3y}{4} + 2y + z = 7 \implies \frac{11 - 3y}{4} + 2y + z = 7$ Multiplions par 4 pour éliminer le dénominateur : $$11 - 3y + 8y + 4z = 28 \implies 5y + 4z = 17$$ - Éq3 : $-4 \times \frac{11 - 3y}{4} + 2y + 4z = 6 \implies -(11 - 3y) + 2y + 4z = 6$ $$-11 + 3y + 2y + 4z = 6 \implies 5y + 4z = 17$$ - Éq4 : $3 \times \frac{11 - 3y}{4} + y - z = 4 \implies \frac{33 - 9y}{4} + y - z = 4$ Multiplions par 4 : $$33 - 9y + 4y - 4z = 16 \implies -5y - 4z = -17$$ 7. **Étape 5 : Résoudre le système réduit** On a : $$\begin{cases} 5y + 4z = 17 \\ 5y + 4z = 17 \\ -5y - 4z = -17 \end{cases}$$ Les deux premières équations sont identiques, la troisième est l'opposée, donc ce système est compatible et dépendant. 8. **Étape 6 : Trouver $y$ et $z$** Additionnons la première et la troisième équation : $$(5y + 4z) + (-5y - 4z) = 17 + (-17) \implies 0 = 0$$ Cela signifie que $y$ et $z$ sont liés, on peut exprimer $z$ en fonction de $y$ : $$5y + 4z = 17 \implies 4z = 17 - 5y \implies z = \frac{17 - 5y}{4}$$ 9. **Étape 7 : Trouver $x$ en fonction de $y$** Rappel : $$x = \frac{11 - 3y}{4}$$ 10. **Conclusion :** Le système a une infinité de solutions paramétrées par $y$ : $$\boxed{\begin{cases} x = \frac{11 - 3y}{4} \\ y = y \\ z = \frac{17 - 5y}{4} \end{cases} \text{ avec } y \in \mathbb{R}}$$