1. **Énoncé du problème :** Stéphanie veut rénover le plancher de sa cuisine en posant des tuiles de céramique autour d'un îlot carré central. Elle dispose d'un budget total de 1000. 2. **Données et contraintes :** - Dimensions du plancher : longueur $= 3x + 4$, largeur $= x + 9$. - Dimensions de l'îlot central (sans tuiles) : $x + 6$ (côté carré). - Trois choix de tuiles : - Tuile A : rectangle $2 \times x$, prix 10 par tuile. - Tuile B : trapezoïde (indisponible). - Tuile C : losange avec diagonales $x$ et 0.5, prix 3.5 par tuile. - Minimum 50 tuiles nécessaires. 3. **Calcul de la surface à couvrir :** Surface totale du plancher : $$S_{total} = (3x + 4)(x + 9)$$ Surface de l'îlot : $$S_{ilot} = (x + 6)^2$$ Surface à couvrir : $$S = S_{total} - S_{ilot} = (3x + 4)(x + 9) - (x + 6)^2$$ 4. **Développement et simplification :** $$\begin{aligned} S &= (3x + 4)(x + 9) - (x + 6)^2 \\ &= (3x \times x + 3x \times 9 + 4 \times x + 4 \times 9) - (x^2 + 2 \times 6x + 6^2) \\ &= (3x^2 + 27x + 4x + 36) - (x^2 + 12x + 36) \\ &= 3x^2 + 31x + 36 - x^2 - 12x - 36 \\ &= (3x^2 - x^2) + (31x - 12x) + (36 - 36) \\ &= 2x^2 + 19x \end{aligned}$$ 5. **Calcul du nombre de tuiles nécessaires selon le type :** - Tuile A (rectangle $2 \times x$) : surface par tuile $$S_A = 2 \times x = 2x$$ Nombre de tuiles nécessaires : $$N_A = \frac{S}{S_A} = \frac{2x^2 + 19x}{2x}$$ Simplifions : $$N_A = \frac{\cancel{2}x^2 + 19x}{\cancel{2}x} = \frac{x^2 + \frac{19}{2}x}{x} = x + \frac{19}{2} = x + 9.5$$ - Tuile C (losange avec diagonales $x$ et 0.5) : surface par tuile $$S_C = \frac{x \times 0.5}{2} = \frac{0.5x}{2} = 0.25x$$ Nombre de tuiles nécessaires : $$N_C = \frac{S}{S_C} = \frac{2x^2 + 19x}{0.25x} = \frac{2x^2 + 19x}{\frac{1}{4}x} = 4 \times \frac{2x^2 + 19x}{x}$$ Simplifions : $$N_C = 4(2x + 19) = 8x + 76$$ 6. **Contraintes sur le nombre de tuiles : minimum 50 tuiles** - Pour Tuile A : $$N_A = x + 9.5 \geq 50 \Rightarrow x \geq 40.5$$ - Pour Tuile C : $$N_C = 8x + 76 \geq 50$$ Cette inégalité est toujours vraie car $8x + 76 \geq 76 > 50$ pour tout $x \geq 0$. 7. **Contraintes budgétaires : budget total 1000** - Coût total pour Tuile A : $$C_A = 10 \times N_A = 10(x + 9.5) = 10x + 95 \leq 1000 \Rightarrow 10x \leq 905 \Rightarrow x \leq 90.5$$ - Coût total pour Tuile C : $$C_C = 3.5 \times N_C = 3.5(8x + 76) = 28x + 266 \leq 1000 \Rightarrow 28x \leq 734 \Rightarrow x \leq 26.21$$ 8. **Synthèse des contraintes sur $x$ :** - Tuile A : $40.5 \leq x \leq 90.5$ - Tuile C : $x \leq 26.21$ 9. **Conclusion :** - Tuile B indisponible. - Tuile A possible si $x$ est entre 40.5 et 90.5. - Tuile C possible si $x \leq 26.21$ mais doit aussi respecter le minimum de tuiles (toujours vrai). Stéphanie doit choisir un format de tuile A avec $x$ entre 40.5 et 90.5 ou un format de tuile C avec $x \leq 26.21$ pour respecter le budget et le nombre minimum de tuiles. **Réponse finale :** $$\boxed{\text{Tuile A : } 40.5 \leq x \leq 90.5 \quad \text{ou} \quad \text{Tuile C : } x \leq 26.21}$$