1. Énonçons le problème : Sachant que $x + \frac{1}{x} = 3$, trouver la valeur de l'expression $x^2 + \frac{1}{x^2}$.\n\n2. Utilisons la formule d'identité remarquable : $\left(a + b\right)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Ici, posons $a = x$ et $b = \frac{1}{x}$.\n\n3. Appliquons la formule : $$\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}.$$\n\n4. Sachant que $x + \frac{1}{x} = 3$, élevons au carré : $$3^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}.$$\n\n5. Simplifions : $$9 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}.$$\n\n6. Isolons $x^2 + \frac{1}{x^2}$ : $$x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 - 2 = 7.$$\n\n7. Conclusion : La valeur de l'expression $x^2 + \frac{1}{x^2}$ est $7$.