1. **Énoncé du problème :** Nous avons une fonction quadratique $f(x) = a(x-40)^2 - 162$. On sait que $f(90) = 80$. On cherche à déterminer la valeur de $g(280)$, où $g$ est une fonction liée à $Q$ et $T$. 2. **Trouver la valeur de $a$ dans $f(x)$ :** On utilise la donnée $f(90) = 80$. $$f(90) = a(90-40)^2 - 162 = 80$$ $$a(50)^2 - 162 = 80$$ $$2500a - 162 = 80$$ $$2500a = 80 + 162$$ $$2500a = 242$$ $$a = \frac{242}{2500}$$ 3. **Interprétation de $g$ :** Le problème indique que $Q$ et $T$ sont liés à la fonction $g$. Les points $Q(250,0)$ et $T(230,-60)$ sont sur la parabole $g$. On suppose que $g$ est aussi une fonction quadratique de la forme $g(x) = b(x - h)^2 + k$. 4. **Déterminer $g(x)$ à partir des points $Q$ et $T$ :** Le point $Q(250,0)$ est un zéro de $g$, donc : $$g(250) = 0 = b(250 - h)^2 + k$$ Le point $T(230,-60)$ est sur $g$, donc : $$g(230) = -60 = b(230 - h)^2 + k$$ 5. **Trouver $h$ et $k$ :** Le point $R$ est le point de départ, probablement le sommet de $g$, donc $R = (h,k)$. 6. **Utiliser les deux équations :** De la première : $$0 = b(250 - h)^2 + k \Rightarrow k = -b(250 - h)^2$$ Substituer dans la deuxième : $$-60 = b(230 - h)^2 - b(250 - h)^2 = b[(230 - h)^2 - (250 - h)^2]$$ 7. **Calculer la différence des carrés :** $$(230 - h)^2 - (250 - h)^2 = [(230 - h) - (250 - h)] \times [(230 - h) + (250 - h)] = (-20) \times (480 - 2h) = -20(480 - 2h)$$ Donc : $$-60 = b \times [-20(480 - 2h)] = -20b(480 - 2h)$$ Diviser par $-20$ : $$3 = b(480 - 2h)$$ 8. **Exprimer $b$ :** $$b = \frac{3}{480 - 2h}$$ 9. **Exprimer $k$ en fonction de $h$ :** $$k = -b(250 - h)^2 = -\frac{3}{480 - 2h} (250 - h)^2$$ 10. **Trouver $g(280)$ :** $$g(280) = b(280 - h)^2 + k = \frac{3}{480 - 2h} (280 - h)^2 - \frac{3}{480 - 2h} (250 - h)^2 = \frac{3}{480 - 2h} [(280 - h)^2 - (250 - h)^2]$$ 11. **Calculer la différence des carrés :** $$(280 - h)^2 - (250 - h)^2 = [(280 - h) - (250 - h)] \times [(280 - h) + (250 - h)] = 30 \times (530 - 2h) = 30(530 - 2h)$$ 12. **Calcul final :** $$g(280) = \frac{3}{480 - 2h} \times 30(530 - 2h) = \frac{90(530 - 2h)}{480 - 2h}$$ 13. **Simplification :** $$g(280) = 90 \times \frac{530 - 2h}{480 - 2h}$$ 14. **Conclusion :** Sans la valeur exacte de $h$, on ne peut pas donner un nombre précis. **Résumé :** - $a = \frac{242}{2500}$ - $g(280) = 90 \times \frac{530 - 2h}{480 - 2h}$ où $h$ est l'abscisse du sommet $R$ de $g$. Si $h$ est donné, on peut calculer $g(280)$ précisément.