1. **Énoncé du problème :** Résoudre l'équation à valeurs absolues suivante : $$|17x + 2| = |4 + x|$$ 2. **Formule et règles importantes :** Pour résoudre une équation avec des valeurs absolues, on utilise la définition : $$|A| = |B| \iff A = B \text{ ou } A = -B$$ 3. **Application de la règle :** On pose deux cas : **Cas 1 :** $$17x + 2 = 4 + x$$ **Cas 2 :** $$17x + 2 = -(4 + x)$$ 4. **Résolution du Cas 1 :** $$17x + 2 = 4 + x$$ $$17x - x = 4 - 2$$ $$16x = 2$$ $$x = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$$ 5. **Résolution du Cas 2 :** $$17x + 2 = -4 - x$$ $$17x + x = -4 - 2$$ $$18x = -6$$ $$x = \frac{-6}{18} = -\frac{1}{3}$$ 6. **Vérification des solutions dans l'équation originale :** Pour $$x = \frac{1}{8}$$ : $$|17 \times \frac{1}{8} + 2| = |\frac{17}{8} + 2| = |\frac{17}{8} + \frac{16}{8}| = |\frac{33}{8}| = \frac{33}{8}$$ $$|4 + \frac{1}{8}| = |\frac{32}{8} + \frac{1}{8}| = |\frac{33}{8}| = \frac{33}{8}$$ Les deux côtés sont égaux, donc $$x = \frac{1}{8}$$ est solution. Pour $$x = -\frac{1}{3}$$ : $$|17 \times -\frac{1}{3} + 2| = |-\frac{17}{3} + 2| = |-\frac{17}{3} + \frac{6}{3}| = |-\frac{11}{3}| = \frac{11}{3}$$ $$|4 - \frac{1}{3}| = |\frac{12}{3} - \frac{1}{3}| = |\frac{11}{3}| = \frac{11}{3}$$ Les deux côtés sont égaux, donc $$x = -\frac{1}{3}$$ est solution. 7. **Réponse finale :** Les solutions de l'équation $$|17x + 2| = |4 + x|$$ sont $$x = \frac{1}{8}$$ et $$x = -\frac{1}{3}$$.