1. **Énoncé du problème :** Déterminer les composantes du vecteur $\overrightarrow{OU}$ sachant que $\overrightarrow{RU} + 2\overrightarrow{SU} + 3\overrightarrow{TU} = \overrightarrow{0}$ avec $R(-2;4)$, $S(1;-3)$, $T(2;0)$. 2. **Formule et règles importantes :** Pour un point $U(x,y)$, les vecteurs sont définis par $\overrightarrow{RU} = (x+2, y-4)$, $\overrightarrow{SU} = (x-1, y+3)$, $\overrightarrow{TU} = (x-2, y-0) = (x-2,y)$. L'équation vectorielle $\overrightarrow{RU} + 2\overrightarrow{SU} + 3\overrightarrow{TU} = \overrightarrow{0}$ signifie que la somme des composantes en $x$ et en $y$ est nulle. 3. **Calcul des composantes :** $$\overrightarrow{RU} + 2\overrightarrow{SU} + 3\overrightarrow{TU} = (x+2, y-4) + 2(x-1, y+3) + 3(x-2, y) = \overrightarrow{0}$$ En composantes : $$\left( (x+2) + 2(x-1) + 3(x-2), (y-4) + 2(y+3) + 3y \right) = (0,0)$$ 4. **Simplification des composantes :** Pour $x$ : $$x+2 + 2x - 2 + 3x - 6 = (x + 2x + 3x) + (2 - 2 - 6) = 6x - 6$$ Pour $y$ : $$y - 4 + 2y + 6 + 3y = (y + 2y + 3y) + (-4 + 6) = 6y + 2$$ 5. **Équations à résoudre :** $$6x - 6 = 0$$ $$6y + 2 = 0$$ 6. **Résolution :** $$6x = 6 \Rightarrow x = \frac{6}{6} = 1$$ $$6y = -2 \Rightarrow y = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$ 7. **Réponse finale :** Les composantes du vecteur $\overrightarrow{OU}$ sont $$\boxed{(1, -\frac{1}{3})}$$