1. **Énoncé du problème :** On considère les points $A(1,2,3)$, $B(4,-5,-2)$, $C(4,0,d)$ dans un repère orthonormé direct $R=(O; \vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$. On définit les vecteurs $\vec{V}_1 = \overrightarrow{AB}$ et $\vec{V}_2 = \overrightarrow{BC}$. Il faut : - 1) Trouver les composantes scalaires de $\vec{V}_1$ et $\vec{V}_2$ en fonction de $d$. - 2) Trouver les composantes scalaires du vecteur $\vec{V}_3 = \vec{V}_1 \wedge \vec{V}_2$. - 3) Trouver la valeur de $d$ pour que $\vec{V}_1$ et $\vec{V}_2$ soient orthogonaux. 2. **Calcul des composantes scalaires de $\vec{V}_1$ et $\vec{V}_2$ :** - $\vec{V}_1 = \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (4 - 1, -5 - 2, -2 - 3) = (3, -7, -5)$ - $\vec{V}_2 = \overrightarrow{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B, z_C - z_B) = (4 - 4, 0 - (-5), d - (-2)) = (0, 5, d + 2)$ 3. **Calcul des composantes scalaires de $\vec{V}_3 = \vec{V}_1 \wedge \vec{V}_2$ :** Rappel : Le produit vectoriel de deux vecteurs $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ et $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$ est $$ \vec{a} \wedge \vec{b} = \left( a_y b_z - a_z b_y,\; a_z b_x - a_x b_z,\; a_x b_y - a_y b_x \right) $$ Appliquons cela : - $x$ : $(-7)(d+2) - (-5)(5) = -7(d+2) + 25 = -7d -14 + 25 = -7d + 11$ - $y$ : $(-5)(0) - 3(d+2) = 0 - 3(d+2) = -3d - 6$ - $z$ : $3(5) - (-7)(0) = 15 - 0 = 15$ Donc $$ \vec{V}_3 = (-7d + 11, -3d - 6, 15) $$ 4. **Condition d'orthogonalité entre $\vec{V}_1$ et $\vec{V}_2$ :** Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul : $$ \vec{V}_1 \cdot \vec{V}_2 = 0 $$ Calculons : $$ \vec{V}_1 \cdot \vec{V}_2 = 3 \times 0 + (-7) \times 5 + (-5) \times (d+2) = 0 - 35 - 5(d+2) = -35 - 5d - 10 = -5d - 45 $$ Posons égal à zéro : $$ -5d - 45 = 0 $$ Simplifions : $$ \cancel{-5}d + \cancel{-45} = 0 \Rightarrow d + 9 = 0 $$ Donc $$ d = -9 $$ **Réponse finale :** - $\vec{V}_1 = (3, -7, -5)$ - $\vec{V}_2 = (0, 5, d+2)$ - $\vec{V}_3 = (-7d + 11, -3d - 6, 15)$ - $d = -9$ pour que $\vec{V}_1$ et $\vec{V}_2$ soient orthogonaux.