1. **Énoncé du problème :** Nous avons quatre opérations algébriques avec des formes réduites et des restrictions sur les dénominateurs. Le motif est que chaque forme réduite est de la forme $x + k$ avec des restrictions sur $x$. 2. **Analysons les trois premières opérations :** - Opération 1 : $\frac{x^2 + 3x + 2}{x + 2} - \frac{(4x + 1)^2}{16x^2 + 8x + 1} = x + 1$ avec $x \neq -0,25$ et $x \neq -2$ - Opération 2 : $\frac{(x^2 + 4x + 3)(x + 4)}{x^2 + 7x + 12} = x + 1$ avec $x \neq -3$ et $x \neq -4$ - Opération 3 : $\frac{2x^2 - 9x - 5}{4x^2 - 1} \cdot \frac{2x^2 + 3x - 2}{x - 5} = x + 2$ avec $x \neq 0,5$, $x \neq -0,5$, $x \neq 5$ 3. **Observation du motif :** Les formes réduites sont $x + 1$, $x + 1$, $x + 2$ respectivement. 4. **Trouver le dénominateur manquant dans la 4e opération pour continuer le motif :** La 4e opération est $\frac{2x^2 + 11x + 15}{?} = ?$ Le motif suggère que la forme réduite sera $x + 2$ ou $x + 3$ (en progression). 5. **Factorisation du numérateur de la 4e opération :** $$2x^2 + 11x + 15 = (2x + 5)(x + 3)$$ 6. **Pour que la forme réduite soit $x + 3$, le dénominateur doit contenir un facteur commun avec le numérateur pour simplifier :** Le facteur commun possible est $(2x + 5)$ ou $(x + 3)$. 7. **Testons le dénominateur $x + 5$ (non factorisé dans le numérateur) :** Non, car il ne simplifie pas. 8. **Testons le dénominateur $(2x + 3)(x + 5)$ :** Non, car il ne simplifie pas directement. 9. **Testons le dénominateur $(2x + 5)(x + 3)$ :** Alors la fraction devient $$\frac{(2x + 5)(x + 3)}{(2x + 5)(x + 3)} = 1$$ Ce n'est pas $x + 2$ ou $x + 3$. 10. **Testons le dénominateur $(x + 5)(2x + 3)$ :** Non simplifiable. 11. **Testons le dénominateur $(x + 5)(x + 3)$ :** Non simplifiable. 12. **Testons le dénominateur $(x + 5)(2x + 5)$ :** Non simplifiable. 13. **Testons le dénominateur $(x + 5)$ :** Non simplifiable. 14. **Testons le dénominateur $(x + 3)$ :** Simplifie en $2x + 5$ (pas $x + 2$). 15. **Testons le dénominateur $(2x + 5)$ :** Simplifie en $x + 3$. 16. **Conclusion :** Le dénominateur manquant est $2x + 5$ pour que la forme réduite soit $x + 3$, ce qui continue le motif. --- 17. **Problème 2 : Montrer que le point milieu de l'hypoténuse est à la même distance des trois sommets d'un triangle rectangle.** 18. **Données :** Triangle rectangle $ABC$ avec $A(0,a)$, $B(b,0)$, $C(0,0)$. Le point milieu de l'hypoténuse $AB$ est $M\left(\frac{b}{2}, \frac{a}{2}\right)$. 19. **Calcul des distances :** - $MA = \sqrt{\left(\frac{b}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{a}{2} - a\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 + \left(-\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$ - $MB = \sqrt{\left(\frac{b}{2} - b\right)^2 + \left(\frac{a}{2} - 0\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{b}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$ - $MC = \sqrt{\left(\frac{b}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{a}{2} - 0\right)^2} = \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$ 20. **Conclusion :** Le point milieu $M$ de l'hypoténuse est équidistant des trois sommets $A$, $B$ et $C$.