1. **Enunciato del problema:** Vogliamo capire come cambia la matrice di un'applicazione lineare $f: V \to W$ quando cambiamo le basi di $V$ e $W$. 2. **Definizioni e basi:** Siano $B = (b_1, \ldots, b_n)$ e $B' = (b'_1, \ldots, b'_n)$ due basi di $V$, e $C = (c_1, \ldots, c_m)$ e $C' = (c'_1, \ldots, c'_m)$ due basi di $W$. 3. **Matrice di cambio base:** La matrice di cambio base da $B$ a $B'$ è $M_{B'}^B(\mathrm{id}_V)$, che rappresenta l'identità di $V$ vista da $B'$ a $B$. Analogamente, $M_C^{C'}(\mathrm{id}_W)$ è la matrice di cambio base da $C'$ a $C$. 4. **Formula del cambio base per $f$:** La matrice di $f$ rispetto alle basi $B$ e $C$ è $M_B^C(f)$. La matrice di $f$ rispetto alle basi $B'$ e $C'$ si ottiene con la formula: $$ M_{B'}^{C'}(f) = M_{B'}^B(\mathrm{id}_V) \cdot M_B^C(f) \cdot M_C^{C'}(\mathrm{id}_W) $$ 5. **Interpretazione:** Questa formula dice che per passare dalla matrice di $f$ in basi $B,C$ a quella in basi $B',C'$ dobbiamo moltiplicare a sinistra per la matrice di cambio base da $B'$ a $B$ e a destra per la matrice di cambio base da $C'$ a $C$. 6. **Caso degli endomorfismi:** Se $f: V \to V$ è un endomorfismo e $B, B'$ sono due basi di $V$, allora la matrice di $f$ in $B$ è $A = M_B^B(f)$ e in $B'$ è $A' = M_{B'}^{B'}(f)$. 7. **Matrice di cambio base per endomorfismi:** Poniamo $P = M_{B'}^B(\mathrm{id}_V)$, che è invertibile. La relazione tra $A$ e $A'$ è: $$ A' = P^{-1} A P $$ 8. **Significato:** Questa è la formula di similitudine tra matrici, che descrive come cambia la matrice di un endomorfismo cambiando base. **Risposta finale:** La matrice di un'applicazione lineare cambia secondo la formula $$M_{B'}^{C'}(f) = M_{B'}^B(\mathrm{id}_V) \cdot M_B^C(f) \cdot M_C^{C'}(\mathrm{id}_W)$$ Per gli endomorfismi, la matrice cambia per similitudine $$A' = P^{-1} A P$$ dove $P$ è la matrice di cambio base da $B'$ a $B$.