1. **Enunciato del problema:** Calcolare la dimensione dello spazio vettoriale $U = \mathrm{Span}(4e_1 + (a+1)e_3 + e_4, (2 - a)e_1 + e_2 + e_4, (a + 2)e_1 - e_2 + e_3, 8e_1 + 5e_3 + 2e_4) \subset \mathbb{R}^4$ ed esibire una base. 2. **Formula e regole importanti:** La dimensione di uno spazio generato da vettori è il numero massimo di vettori linearmente indipendenti tra essi. Per verificarlo, si costruisce la matrice i cui vettori sono colonne o righe e si calcola il rango. 3. **Costruzione della matrice dei vettori:** Scriviamo i vettori come colonne in $ \begin{bmatrix} 4 & 2 - a & a + 2 & 8 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ a + 1 & 0 & 1 & 5 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ 4. **Calcolo del rango:** Applichiamo operazioni elementari di riga per determinare il rango. - Riga 1: $(4, 2 - a, a + 2, 8)$ - Riga 2: $(0, 1, -1, 0)$ - Riga 3: $(a + 1, 0, 1, 5)$ - Riga 4: $(1, 1, 0, 2)$ 5. **Eliminiamo elementi sotto la prima colonna:** - $R_3 \to R_3 - \frac{a+1}{4} R_1$ - $R_4 \to R_4 - \frac{1}{4} R_1$ 6. Calcoliamo: $$R_3 = (a+1, 0, 1, 5) - \frac{a+1}{4}(4, 2 - a, a + 2, 8) = (0, -\frac{(a+1)(2 - a)}{4}, 1 - \frac{(a+1)(a+2)}{4}, 5 - 2(a+1))$$ $$R_4 = (1, 1, 0, 2) - \frac{1}{4}(4, 2 - a, a + 2, 8) = (0, 1 - \frac{2 - a}{4}, 0 - \frac{a + 2}{4}, 2 - 2) = (0, \frac{2 + a}{4}, -\frac{a + 2}{4}, 0)$$ 7. La matrice ora è: $$\begin{bmatrix} 4 & 2 - a & a + 2 & 8 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -\frac{(a+1)(2 - a)}{4} & 1 - \frac{(a+1)(a+2)}{4} & 5 - 2(a+1) \\ 0 & \frac{2 + a}{4} & -\frac{a + 2}{4} & 0 \end{bmatrix}$$ 8. **Eliminiamo elementi sotto la seconda colonna:** - $R_3 \to R_3 + \frac{(a+1)(2 - a)}{4} R_2$ - $R_4 \to R_4 - \frac{2 + a}{4} R_2$ 9. Calcoliamo: $$R_3 = \left(0, 0, 1 - \frac{(a+1)(a+2)}{4} + \frac{(a+1)(2 - a)}{4}(-1), 5 - 2(a+1) + 0\right)$$ Semplifichiamo il coefficiente di $R_3$ in colonna 3: $$1 - \frac{(a+1)(a+2)}{4} - \frac{(a+1)(2 - a)}{4} = 1 - \frac{(a+1)(a+2 + 2 - a)}{4} = 1 - \frac{(a+1) \cdot 4}{4} = 1 - (a+1) = -a$$ Quindi $R_3 = (0, 0, -a, 5 - 2(a+1))$ Per $R_4$: $$R_4 = (0, 0, -\frac{a + 2}{4} - \frac{2 + a}{4}(-1), 0 - 0) = (0, 0, -\frac{a + 2}{4} + \frac{2 + a}{4}, 0) = (0, 0, 0, 0)$$ 10. La matrice ridotta è: $$\begin{bmatrix} 4 & 2 - a & a + 2 & 8 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -a & 5 - 2(a+1) \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$ 11. **Determinazione del rango:** - Se $a \neq 0$, la terza riga ha un elemento non nullo, quindi rango = 3. - Se $a = 0$, allora la terza riga è $(0,0,0,5 - 2(1)) = (0,0,0,3)$, non nulla, quindi rango = 3. Quindi in ogni caso rango = 3. 12. **Dimensione di $U$:** $\dim(U) = 3$. 13. **Base di $U$:** I vettori corrispondenti alle prime tre righe indipendenti sono: $$\{4e_1 + (a+1)e_3 + e_4, (2 - a)e_1 + e_2 + e_4, (a + 2)e_1 - e_2 + e_3\}$$ 14. **Conclusione:** La dimensione di $U$ è 3 e una base è data dai primi tre vettori del generatore.