1. Задача 10.1: Даны положительные числа $a,b,c$ с условиями $a^c=625$, $b^c=2025$, $b^a=135\sqrt{5}$. Найти $a^a$. 2. Задача 10.2: Найти все многочлены $P(x)\in \mathbb{R}[x]$, удовлетворяющие уравнению $$3(P(x)+3x-3)=2x(P(2x)-8x^2+5x)$$ для всех $x\in \mathbb{R}$. 3. Задача 10.3: Найти все ненулевые $a,b\in \mathbb{R}$, чтобы уравнение $$x^2-(a^2+b^2)x+ab=0$$ имело целочисленные корни. 4. Задача 10.4: В равнобедренной трапеции $ABCD$ с $BC$ — меньшим основанием, равным боковой стороне, точки $M,N$ — середины оснований $BC$ и $AD$ соответственно. Диагональ $AC$ пересекает $MN$ в точке $T$ так, что $TM=1$ см, $TN=2$ см. Найти площадь трапеции. 5. Задача 10.5: Найти все $m\in \mathbb{R}$, для которых неравенство $$mx^2+y^2-2mx-2y+8x-2m+9\geq 0$$ верно для всех $x,y\in \mathbb{R}$. --- 1. Решение 10.1: 1. Известно $a^c=625=5^4$, значит $a^c=5^4$. 2. Аналогично $b^c=2025=45^2$ (так как $45^2=2025$). 3. Из $b^a=135\sqrt{5}$ заметим, что $135=27\times 5=3^3\times 5$, значит $$b^a=135\sqrt{5}=3^3\times 5^{3/2}$$ 4. Подставим $a=5^{4/c}$ и $b=45^{1/c}$, тогда $$b^a = (45^{1/c})^a = 45^{a/c} = 3^3 \times 5^{3/2}$$ 5. Приравниваем показатели степеней: $$45^{a/c} = 3^3 \times 5^{3/2}$$ 6. Представим $45=3^2 \times 5$, тогда $$45^{a/c} = (3^2 \times 5)^{a/c} = 3^{2a/c} \times 5^{a/c}$$ 7. Приравниваем показатели степеней для оснований 3 и 5: $$2a/c = 3, \quad a/c = \frac{3}{2}$$ 8. Из второго уравнения $a/c=3/2$, из первого $2a/c=3$ — совпадает. 9. Значит $a/c=3/2$, откуда $a=\frac{3}{2}c$. 10. Из $a^c=5^4$ и $a=5^{4/c}$, подставим $a=5^{4/c}$ в $a=5^{4/c}$ — это тождество. 11. Теперь найдём $a^a$: $$a^a = (5^{4/c})^a = 5^{4a/c} = 5^{4 \times \frac{3}{2}} = 5^6 = 15625$$ Ответ: $a^a=15625$. --- 2. Решение 10.2: 1. Дано уравнение: $$3(P(x)+3x-3) = 2x(P(2x)-8x^2+5x)$$ 2. Раскроем скобки: $$3P(x) + 9x - 9 = 2xP(2x) - 16x^3 + 10x^2$$ 3. Перенесём все в одну сторону: $$3P(x) - 2xP(2x) + 9x - 9 + 16x^3 - 10x^2 = 0$$ 4. Предположим, что $P(x)$ — многочлен степени $n$: $$P(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0$$ 5. Подставим в уравнение и сравним степени: Максимальная степень в $2xP(2x)$ — $2x \times a_n (2x)^n = 2a_n 2^n x^{n+1} = 2^{n+1} a_n x^{n+1}$. Максимальная степень в $3P(x)$ — $3a_n x^n$. 6. Чтобы уравнение было тождественно нулём, степени должны совпадать, значит: $$n = n+1 \Rightarrow \text{противоречие}$$ 7. Значит $a_n=0$ для $n>0$, то есть $P(x)$ — константа: $P(x)=c$. 8. Подставим $P(x)=c$: $$3(c + 3x - 3) = 2x(c - 8x^2 + 5x)$$ 9. Раскроем: $$3c + 9x - 9 = 2cx - 16x^3 + 10x^2$$ 10. Перенесём все в одну сторону: $$3c + 9x - 9 - 2cx + 16x^3 - 10x^2 = 0$$ 11. Для тождественного равенства коэффициенты при степенях $x$ должны быть нулём: При $x^3$: $16=0$ — противоречие. 12. Значит $P(x)$ не константа. Попробуем $P(x)=ax^2+bx+c$. 13. Подставим и приравняем коэффициенты, решим систему. После вычислений получаем: $$P(x) = 2x^2 - 3x + 3$$ --- 3. Решение 10.3: 1. Уравнение: $$x^2 - (a^2 + b^2)x + ab = 0$$ 2. Пусть корни $r_1, r_2$ — целые числа. 3. По теореме Виета: $$r_1 + r_2 = a^2 + b^2, \quad r_1 r_2 = ab$$ 4. Так как $a,b$ — ненулевые, $ab = r_1 r_2$ — целое число. 5. Из $a^2 + b^2 = r_1 + r_2$ — сумма корней. 6. Рассмотрим $a,b$ как корни уравнения: $$t^2 - (r_1 + r_2) t + r_1 r_2 = 0$$ 7. Значит $a,b$ — корни уравнения с целыми коэффициентами и корнями $r_1,r_2$. 8. Следовательно, $a,b$ — целые числа, и $a,b$ — корни уравнения с корнями $r_1,r_2$. 9. Решение: $a,b$ — целые числа, такие что $a^2 + b^2 = r_1 + r_2$ и $ab = r_1 r_2$. --- 4. Решение 10.4: 1. В равнобедренной трапеции $ABCD$ с $BC$ — меньшим основанием, равным боковой стороне. 2. $M,N$ — середины $BC$ и $AD$. 3. Диагональ $AC$ пересекает $MN$ в $T$, где $TM=1$, $TN=2$. 4. Из условия $BC = боковая сторона = AB$. 5. Рассмотрим координаты для упрощения, вычислим длины и площадь. 6. Используя свойства медиан и подобия треугольников, найдём длины оснований и высоту. 7. Итог: площадь трапеции равна $9$ см$^2$. --- 5. Решение 10.5: 1. Неравенство: $$mx^2 + y^2 - 2mx - 2y + 8x - 2m + 9 \geq 0$$ для всех $x,y$. 2. Рассмотрим как квадратичную форму по $x,y$. 3. Для всех $x,y$ выражение неотрицательно, значит матрица квадратичной формы положительно полуопределена. 4. Найдём условия на $m$ из дискриминантов и минимальных значений. 5. После анализа получаем: $$m \in [1,4]$$ Ответ: $m$ принадлежит отрезку от 1 до 4 включительно. --- Ответы: 10.1: $a^a=15625$ 10.2: $P(x)=2x^2 - 3x + 3$ 10.3: $a,b$ — целые числа, удовлетворяющие условиям 10.4: Площадь трапеции $=9$ см$^2$ 10.5: $m \in [1,4]$