1. **Vérification du problème 14 : Calcul de l'angle ABC** Le triangle ABC a pour points : - A(-3, 4) - B(5, 2) - C(-1, -6) 2. **Calcul des longueurs des côtés** Distance BC : $$d(B,C) = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (2 - (-6))^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$ Distance AC : $$d(A,C) = \sqrt{(-3 - (-1))^2 + (4 - (-6))^2} = \sqrt{(-2)^2 + 10^2} = \sqrt{4 + 100} = \sqrt{104} \approx 10.1980$$ Distance AB : $$d(A,B) = \sqrt{(5 - (-3))^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt{8^2 + (-2)^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} \approx 8.2462$$ 3. **Utilisation de la loi des cosinus pour trouver l'angle ABC** L'angle ABC est l'angle au point B, donc on utilise les côtés autour de B : - $a = AC \approx 10.1980$ - $b = BC = 10$ - $c = AB \approx 8.2462$ La loi des cosinus : $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\angle ABC)$$ Substituons : $$10.1980^2 = 10^2 + 8.2462^2 - 2 \times 10 \times 8.2462 \times \cos(\angle ABC)$$ $$103.9992 = 100 + 67.9998 - 164.924 \cdot \cos(\angle ABC)$$ $$103.9992 = 167.9998 - 164.924 \cdot \cos(\angle ABC)$$ Isolons $\cos(\angle ABC)$ : $$103.9992 - 167.9998 = -164.924 \cdot \cos(\angle ABC)$$ $$-64.0006 = -164.924 \cdot \cos(\angle ABC)$$ Divisons par $-164.924$ : $$\cos(\angle ABC) = \frac{-64.0006}{-164.924} = 0.3881$$ 4. **Calcul de l'angle** $$\angle ABC = \cos^{-1}(0.3881) \approx 67.16^\circ$$ **Conclusion :** Votre calcul est correct et l'angle ABC mesure environ $67.16^\circ$. --- 5. **Explication du problème 13 : Calcul des œufs à produire** **Énoncé :** - Total œufs commandés : 212000 - Valeur totale commande : 61650 - Prix par œuf : - Petit œuf creux : 0.12 - Petit œuf solide : 0.60 - Gros œuf crème : 3.90 - Nombre de petits œufs solides = nombre de gros œufs crème - Le reste sont des petits œufs creux - Premier jour, 53214 petits œufs creux produits **Objectif :** Combien d'autres petits œufs creux doivent être produits pour compléter la commande ? 6. **Définissons les variables :** - $x$ = nombre de petits œufs solides - $x$ = nombre de gros œufs crème (même nombre que solides) - $y$ = nombre de petits œufs creux 7. **Équations à partir des données :** Nombre total d'œufs : $$y + x + x = y + 2x = 212000$$ Valeur totale : $$0.12y + 0.60x + 3.90x = 0.12y + 4.50x = 61650$$ 8. **Résolvons le système :** De la première équation : $$y = 212000 - 2x$$ Substituons dans la deuxième : $$0.12(212000 - 2x) + 4.50x = 61650$$ $$25440 - 0.24x + 4.50x = 61650$$ $$25440 + 4.26x = 61650$$ $$4.26x = 61650 - 25440 = 36210$$ $$x = \frac{36210}{4.26} \approx 8500$$ 9. **Calcul du nombre de petits œufs creux :** $$y = 212000 - 2 \times 8500 = 212000 - 17000 = 195000$$ 10. **Calcul des petits œufs creux restants à produire :** Déjà produits : 53214 À produire : $$195000 - 53214 = 141786$$ **Réponse finale :** Il faut produire encore 141786 petits œufs creux pour compléter la commande.