1. حل التعبير $\left(\frac{3}{7}\right)^2 \cdot \frac{20 a^3}{45 a}$: - نبدأ بتربيع الكسر: $$\left(\frac{3}{7}\right)^2 = \frac{9}{49}$$ - ثم نضرب في الكسر الآخر: $$\frac{9}{49} \times \frac{20 a^3}{45 a} = \frac{9 \times 20 a^3}{49 \times 45 a} = \frac{180 a^3}{2205 a}$$ - نبسط الكسر بحذف العامل المشترك $a$: $$\frac{180 \cancel{a^3}}{2205 \cancel{a}} = \frac{180 a^{3-1}}{2205} = \frac{180 a^2}{2205}$$ - نبسط الأعداد: $$\frac{180}{2205} = \frac{180 \div 15}{2205 \div 15} = \frac{12}{147}$$ - الناتج النهائي: $$\frac{12 a^2}{147}$$ 2. حل المتباينة $3x^2 - 27 > 0$: - نبدأ بتبسيط: $$3x^2 - 27 > 0$$ - نقسم الطرفين على 3: $$\frac{3x^2}{\cancel{3}} - \frac{27}{\cancel{3}} > 0 \Rightarrow x^2 - 9 > 0$$ - نعيد كتابة المتباينة: $$x^2 > 9$$ - نأخذ الجذر التربيعي مع مراعاة القيم: $$x > 3 \quad \text{أو} \quad x < -3$$ 3. حل المعادلة $x^2 - 6x + 5 = 0$: - نستخدم صيغة المعادلة التربيعية: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ - حيث $a=1$, $b=-6$, $c=5$: $$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \times 1 \times 5}}{2 \times 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2}$$ - نحسب الجذور: $$x = \frac{6 \pm 4}{2}$$ - الحلول: $$x_1 = \frac{6 + 4}{2} = 5, \quad x_2 = \frac{6 - 4}{2} = 1$$ 4. حل المعادلة المطلقة $|2x - 5| = 25$: - نكتب حالتين: 1. $2x - 5 = 25$ 2. $2x - 5 = -25$ - للحالة الأولى: $$2x = 30 \Rightarrow x = 15$$ - للحالة الثانية: $$2x = -20 \Rightarrow x = -10$$ 5. حل المعادلة $8^{\frac{x}{2}} + 8^{\frac{x}{3}} + 8^{\frac{2x}{3}} = 14$: - نضع $y = 8^{\frac{x}{6}}$ لأن $\frac{x}{2} = 3 \times \frac{x}{6}$, $\frac{x}{3} = 2 \times \frac{x}{6}$, $\frac{2x}{3} = 4 \times \frac{x}{6}$ - إذن: $$8^{\frac{x}{2}} = y^3, \quad 8^{\frac{x}{3}} = y^2, \quad 8^{\frac{2x}{3}} = y^4$$ - المعادلة تصبح: $$y^3 + y^2 + y^4 = 14$$ - نرتب: $$y^4 + y^3 + y^2 - 14 = 0$$ - نبحث عن جذور صحيحة ممكنة (مثلاً $y=1,2$): - عند $y=2$: $$2^4 + 2^3 + 2^2 - 14 = 16 + 8 + 4 - 14 = 14 > 0$$ - عند $y=1$: $$1 + 1 + 1 - 14 = -11 < 0$$ - نستخدم طريقة تقريبية أو تحليلية لإيجاد $y$ ثم نعود لـ $x$ عبر: $$x = 6 \log_8 y$$ 6. حل الدالة $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 5}$: - لا يوجد حل مباشر مطلوب، الدالة معرفة لكل $x \neq -5$. 7. حل الدالة الجذرية $f(x) = \sqrt{x} - 6$: - مجال الدالة: $x \geq 0$. 8. تبسيط التعبير: $$\frac{1}{\sqrt{2} - 1} + \frac{1}{2} + \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{2}$$ - نبسط الكسر الأول بمرافق المقام: $$\frac{1}{\sqrt{2} - 1} \times \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1$$ - التعبير يصبح: $$\sqrt{2} + 1 + \frac{1}{2} + \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{2}$$ - نجمع $\sqrt{2}$ مع $\sqrt{2}$: $$2\sqrt{2} + 1 + \frac{1}{2} + \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}}$$ 9. إثبات الهوية: $$[x^{n^2 -1} + x^{n-1}]^{\frac{1}{n}} = x^{n-1}$$ - نبدأ من الطرف الأيسر: $$[x^{n^2 -1} + x^{n-1}]^{\frac{1}{n}} = x^{\frac{n^2 -1}{n}} + x^{\frac{n-1}{n}}$$ - لكن هذا لا يساوي $x^{n-1}$ إلا في حالات خاصة، لذا قد يكون هناك خطأ في المعطى أو شرط إضافي. 10. مجموع المجموعات: - $B = \{x: x \geq 2\}$ - $A = [-1, 4]$ 11. حل التعبير المنطقي: $$\sim (P \wedge Q) \equiv \sim P \vee \sim Q$$ 12. حل التعبير المنطقي: $$P \vee [\sim S \wedge 9 > 5 + 3]$$ - نلاحظ أن $9 > 8$ صحيح، إذن: $$P \vee (\sim S \wedge \text{صحيح}) = P \vee \sim S$$ 13. دالة القيمة المطلقة: $$y = |x + 2|$$ - شكل الدالة هو حرف V مع نقطة رأس عند $x = -2$. 14. تبسيط الجذور: - $\sqrt{2}$, $4\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$ هي أعداد جذرية. - جمعها: $$\sqrt{2} + 4\sqrt{2} + \sqrt{2} = (1 + 4 + 1)\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$$ النتائج النهائية: - 1: $$\frac{12 a^2}{147}$$ - 2: $$x > 3 \text{ أو } x < -3$$ - 3: $$x = 5 \text{ أو } x = 1$$ - 4: $$x = 15 \text{ أو } x = -10$$ - 5: حل تقريبي لـ $y^4 + y^3 + y^2 = 14$ مع $x = 6 \log_8 y$ - 8: $$2\sqrt{2} + 1 + \frac{1}{2} + \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}}$$ - 14: $$6\sqrt{2}$$