1. **Calcul du déterminant de la matrice A et vérification de son inversibilité** Soit la matrice $$A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 5 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -2\end{pmatrix}$$. Le déterminant de A est donné par la formule : $$\det(A) = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31})$$ Calculons : $$\det(A) = 1 \times (1 \times (-2) - 1 \times (-2)) - 2 \times (1 \times (-2) - 1 \times 1) + 5 \times (1 \times (-2) - 1 \times 1)$$ $$= 1 \times (-2 + 2) - 2 \times (-2 - 1) + 5 \times (-2 - 1)$$ $$= 0 + 6 - 15 = -9$$ Puisque $$\det(A) = -9 \neq 0$$, la matrice A est inversible. 2. **Montrer que $$A \times B = -9I_3$$ et en déduire $$A^{-1}$$** Soit $$B=\begin{pmatrix}0 & -6 & -3 \\ 3 & -7 & 4 \\ -3 & 4 & -1\end{pmatrix}$$ et $$I_3$$ la matrice identité 3x3. Calculons $$A \times B$$ : - Première ligne : $$1 \times 0 + 2 \times 3 + 5 \times (-3) = 0 + 6 - 15 = -9$$ $$1 \times (-6) + 2 \times (-7) + 5 \times 4 = -6 - 14 + 20 = 0$$ $$1 \times (-3) + 2 \times 4 + 5 \times (-1) = -3 + 8 - 5 = 0$$ - Deuxième ligne : $$1 \times 0 + 1 \times 3 + 1 \times (-3) = 0 + 3 - 3 = 0$$ $$1 \times (-6) + 1 \times (-7) + 1 \times 4 = -6 - 7 + 4 = -9$$ $$1 \times (-3) + 1 \times 4 + 1 \times (-1) = -3 + 4 - 1 = 0$$ - Troisième ligne : $$1 \times 0 + (-2) \times 3 + (-2) \times (-3) = 0 - 6 + 6 = 0$$ $$1 \times (-6) + (-2) \times (-7) + (-2) \times 4 = -6 + 14 - 8 = 0$$ $$1 \times (-3) + (-2) \times 4 + (-2) \times (-1) = -3 - 8 + 2 = -9$$ On obtient donc : $$A \times B = \begin{pmatrix}-9 & 0 & 0 \\ 0 & -9 & 0 \\ 0 & 0 & -9\end{pmatrix} = -9 I_3$$ En multipliant par $$-\frac{1}{9}$$, on a : $$A \times \left(-\frac{1}{9} B\right) = I_3$$ Donc : $$A^{-1} = -\frac{1}{9} B = \begin{pmatrix}0 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{3} & \frac{7}{9} & -\frac{4}{9} \\ \frac{1}{3} & -\frac{4}{9} & \frac{1}{9}\end{pmatrix}$$ 3. **Modélisation du problème des billets (Système (S))** Soit : - $$x$$ le nombre de billets de 10 dinars, - $$y$$ le nombre de billets de 20 dinars, - $$z$$ le nombre de billets de 50 dinars. D'après l'énoncé : - La somme totale est 28500 dinars : $$10x + 20y + 50z = 28500$$ - Le nombre total de billets est 1800 : $$x + y + z = 1800$$ - Le nombre de billets de 10 est le double du reste : $$x = 2(y + z)$$ Divisons la première équation par 10 pour simplifier : $$x + 2y + 5z = 2850$$ La troisième équation s'écrit : $$x - 2y - 2z = 0$$ Le système (S) est donc : $$\begin{cases} x + 2y + 5z = 2850 \\ x + y + z = 1800 \\ x - 2y - 2z = 0 \end{cases}$$ 4. **Écriture matricielle du système (S)** On pose : $$X = \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}, \quad M = \begin{pmatrix}1 & 2 & 5 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -2\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}2850 \\ 1800 \\ 0\end{pmatrix}$$ Le système s'écrit : $$M X = B$$ 5. **Détermination du nombre de billets de chaque type** Puisque $$M$$ est inversible (déterminant non nul), on a : $$X = M^{-1} B = -\frac{1}{9} B \times B$$ Calculons : $$X = A^{-1} B = -\frac{1}{9} \begin{pmatrix}0 & -6 & -3 \\ 3 & -7 & 4 \\ -3 & 4 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2850 \\ 1800 \\ 0\end{pmatrix}$$ Calcul intermédiaire : $$\begin{pmatrix}0 \times 2850 + (-6) \times 1800 + (-3) \times 0 \\ 3 \times 2850 + (-7) \times 1800 + 4 \times 0 \\ -3 \times 2850 + 4 \times 1800 + (-1) \times 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-10800 \\ 1350 \\ -2550\end{pmatrix}$$ Donc : $$X = -\frac{1}{9} \begin{pmatrix}-10800 \\ 1350 \\ -2550\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1200 \\ -150 \\ 283.33\end{pmatrix}$$ Or, le nombre de billets ne peut pas être négatif ni décimal, il faut vérifier les calculs ou utiliser la méthode de résolution exacte. Utilisons la méthode de substitution : De $$x - 2y - 2z = 0$$, on a $$x = 2y + 2z$$. Substituons dans $$x + y + z = 1800$$ : $$2y + 2z + y + z = 1800 \Rightarrow 3y + 3z = 1800 \Rightarrow y + z = 600$$ Substituons dans $$x + 2y + 5z = 2850$$ : $$2y + 2z + 2y + 5z = 2850 \Rightarrow 4y + 7z = 2850$$ De $$y + z = 600$$, on a $$y = 600 - z$$. Substituons dans $$4y + 7z = 2850$$ : $$4(600 - z) + 7z = 2850 \Rightarrow 2400 - 4z + 7z = 2850 \Rightarrow 3z = 450 \Rightarrow z = 150$$ Alors : $$y = 600 - 150 = 450$$ $$x = 2y + 2z = 2 \times 450 + 2 \times 150 = 900 + 300 = 1200$$ **Réponse finale :** - Nombre de billets de 10 dinars : $$x = 1200$$ - Nombre de billets de 20 dinars : $$y = 450$$ - Nombre de billets de 50 dinars : $$z = 150$$ --- **Exercice 3 : Étude statistique des moyens de transport** 1. **Compléter l'arbre de probabilité** D'après l'énoncé : - Probabilité qu'un étudiant choisisse le bus en aller : $$P(E) = 0.9$$ - Probabilité qu'un étudiant choisisse le taxi en aller : $$P(E^c) = 0.1$$ Conditionnellement à $$E$$ (bus en aller) : - $$P(F^c|E) = 0.95$$ (bus en retour) - $$P(F|E) = 0.05$$ (taxi en retour) Conditionnellement à $$E^c$$ (taxi en aller) : - $$P(F|E^c) = 0.6$$ (bus en retour) - $$P(F^c|E^c) = 0.4$$ (taxi en retour) L'arbre complet est donc : - Départ : - Bus aller (0.9) : - Taxi retour (0.05) - Bus retour (0.95) - Taxi aller (0.1) : - Bus retour (0.6) - Taxi retour (0.4)