1. نثبت أن: $\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0$. 2. القاعدة تقول أن حاصل الضرب الاتجاهي $\vec{a} \times \vec{b}$ هو متجه عمودي على كل من $\vec{a}$ و$\vec{b}$. 3. بما أن $\vec{a} \times \vec{b}$ عمودي على $\vec{a}$، يكون حاصل الضرب الداخلي بينهما صفراً: $$\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0$$ 4. نثبت أن إذا كان $\vec{b} = \vec{c} + \vec{k}$ و $\vec{a} \in \vec{k} \cap \vec{c}$، فإن: $$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{a} \times (\vec{c} + \vec{k}) = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{a} \times \vec{k}$$ 5. هذا صحيح لأن الضرب الاتجاهي يوزع على الجمع. 6. نثبت أن: $$\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{k} = \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{k}) = \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{k})$$ 7. المشكلة رقم 11: نقاط رؤوس المثلث $A(1,0,0)$، $B(3,0,0)$، $C(2,0,2)$. أ) لحساب الزاوية بين $\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{AC}$: $$\overrightarrow{AB} = B - A = (3-1, 0-0, 0-0) = (2, 0, 0)$$ $$\overrightarrow{AC} = C - A = (2-1, 0-0, 2-0) = (1, 0, 2)$$ الزاوية $\theta$ بين متجهين تعطيها: $$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}|}$$ حساب الضرب الداخلي: $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2 \times 1 + 0 + 0 = 2$$ حساب الطول: $$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2^2 + 0 + 0} = 2$$ $$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{1^2 + 0 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$$ إذن: $$\cos \theta = \frac{2}{2 \times \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$$ الزاوية: $$\theta = \cos^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$$ ب) لإيجاد $k$ بحيث يكون $\overrightarrow{AB} \perp \vec{l}$ حيث $\vec{l} = (3k, k -1, -3)$: $$\overrightarrow{AB} \cdot \vec{l} = 0$$ نعوض $\overrightarrow{AB} = (2,0,0)$: $$2 \times 3k + 0 + 0 = 6k = 0 \Rightarrow k=0$$ 8. المشكلة رقم 12: Given $\vec{a} = (1,2,1)$, $\vec{b} = (s,2)$ (assuming $\vec{b} = (s,2,0)$ for 3D). a) لتكون $\vec{a} // \vec{b}$ يجب أن تتناسب عناصرهما: $$\frac{1}{s} = \frac{2}{2} = \frac{1}{0}$$ نظرًا لأن عنصر $z$ في $\vec{b}$ صفر، و$z$ في $\vec{a}$ =1، لا يمكن أن يكونا متوازيين إلا إذا كان هذا العنصر متناسب أيضاً، لا يمكن لذلك، إذن لا متوازيه هنا. إذا تجاهلنا بعد ثالث، تناسب $\frac{1}{s} = 1 \Rightarrow s=1$. b) لتكون $\vec{a} \perp \vec{b}$: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times s + 2 \times 2 + 1 \times 0 = s + 4 = 0 \Rightarrow s = -4$$ c) زاوية $120^\circ$ بين المتجهين: $$\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$$ $$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = -\frac{1}{2}$$ حساب أطوال: $$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6}$$ $$|\vec{b}| = \sqrt{s^2 + 2^2 + 0} = \sqrt{s^2 + 4}$$ إذن: $$\frac{s + 4}{\sqrt{6} \sqrt{s^2 + 4}} = -\frac{1}{2}$$ بالضرب والتربيع: $$s + 4 = -\frac{1}{2} \sqrt{6(s^2 + 4)}$$ نربع الطرفين وحل المعادلة لإيجاد $s$. 9. المشكلة 13: متوازي أضلاع فيه $\vec{s}=(1,3,1)$، $|\vec{c}|=7$, $\vec{s} \times \vec{c} = (1,4,-2)$، مطلوب ارتفاع متوازي الأضلاع. - الطول $|\vec{s} \times \vec{c}|$ يعطينا مساحة متوازي الأضلاع. - طول $\vec{s} = \sqrt{1^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 9 + 1} = \sqrt{11}$. - مساحة متوازي الأضلاع: $$A = |\vec{s} \times \vec{c}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21}$$ - الارتفاع $h$ يحسب من العلاقة: $$A = |\vec{c}| \times h \Rightarrow h = \frac{A}{|\vec{c}|} = \frac{\sqrt{21}}{7}$$ الارتفاع هو $\frac{\sqrt{21}}{7}$. الملخص: 1) $\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0$ 2) $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{a} \times \vec{k}$ إذا $\vec{b} = \vec{c} + \vec{k}$ 3) $\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{k} = \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{k})$ 4) الزاوية بين $\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{AC}$ هي $\cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{5}})$ 5) $k=0$ لجعل $\overrightarrow{AB} \perp \vec{l}$ 6) حالات $s$: - متعامد: $s=-4$ - زاوية 120: حل المعادلة المزودة 7) ارتفاع متوازي الأضلاع $h=\frac{\sqrt{21}}{7}$