1. **Πρόβλημα β:** Να βρούμε τις κοινές λύσεις του συστήματος ανισώσεων: $$\begin{cases} 3 - 2(x - 13) \leq -3(x - 8) \\ 2(x - 7) \leq -3 - 5(x - 9) \end{cases}$$ 2. **Επίλυση πρώτης ανίσωσης:** $$3 - 2(x - 13) \leq -3(x - 8)$$ Ανοίγουμε τις παρενθέσεις: $$3 - 2x + 26 \leq -3x + 24$$ Απλοποιούμε: $$29 - 2x \leq -3x + 24$$ Προσθέτουμε $2x$ και αφαιρούμε $24$ και από τις δύο πλευρές: $$29 - 24 \leq -3x + 2x$$ $$5 \leq -x$$ Πολλαπλασιάζουμε με $-1$ και αλλάζουμε το πρόσημο της ανίσωσης: $$-5 \geq x$$ ή ισοδύναμα $$x \leq -5$$ 3. **Επίλυση δεύτερης ανίσωσης:** $$2(x - 7) \leq -3 - 5(x - 9)$$ Ανοίγουμε τις παρενθέσεις: $$2x - 14 \leq -3 - 5x + 45$$ Απλοποιούμε: $$2x - 14 \leq 42 - 5x$$ Προσθέτουμε $5x$ και προσθέτουμε $14$ και στις δύο πλευρές: $$2x + 5x \leq 42 + 14$$ $$7x \leq 56$$ Διαιρούμε με $7$: $$\cancel{7}x \leq \frac{56}{\cancel{7}}$$ $$x \leq 8$$ 4. **Κοινές λύσεις β:** $$x \leq -5 \quad \text{και} \quad x \leq 8$$ Άρα η κοινή λύση είναι: $$x \leq -5$$ --- 5. **Πρόβλημα γ:** Να βρούμε τις κοινές λύσεις του συστήματος ανισώσεων: $$\begin{cases} -4(x + 2) \geq 6 - 2(x - 3) \\ -3(x - 4) \geq 7 - 5(x + 1) \end{cases}$$ 6. **Επίλυση πρώτης ανίσωσης:** $$-4(x + 2) \geq 6 - 2(x - 3)$$ Ανοίγουμε τις παρενθέσεις: $$-4x - 8 \geq 6 - 2x + 6$$ Απλοποιούμε: $$-4x - 8 \geq 12 - 2x$$ Προσθέτουμε $4x$ και αφαιρούμε $12$ και από τις δύο πλευρές: $$-8 - 12 \geq -2x + 4x$$ $$-20 \geq 2x$$ Διαιρούμε με $2$: $$\frac{-20}{2} \geq \cancel{2}x / \cancel{2}$$ $$-10 \geq x$$ ή ισοδύναμα $$x \leq -10$$ 7. **Επίλυση δεύτερης ανίσωσης:** $$-3(x - 4) \geq 7 - 5(x + 1)$$ Ανοίγουμε τις παρενθέσεις: $$-3x + 12 \geq 7 - 5x - 5$$ Απλοποιούμε: $$-3x + 12 \geq 2 - 5x$$ Προσθέτουμε $3x$ και αφαιρούμε $2$ και από τις δύο πλευρές: $$12 - 2 \geq -5x + 3x$$ $$10 \geq -2x$$ Πολλαπλασιάζουμε με $-1$ και αλλάζουμε το πρόσημο της ανίσωσης: $$-10 \leq 2x$$ Διαιρούμε με $2$: $$\frac{-10}{2} \leq \cancel{2}x / \cancel{2}$$ $$-5 \leq x$$ 8. **Κοινές λύσεις γ:** $$x \leq -10 \quad \text{και} \quad x \geq -5$$ Δεν υπάρχει $x$ που να ικανοποιεί και τις δύο ταυτόχρονα, γιατί $x$ δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα μικρότερο ή ίσο του $-10$ και μεγαλύτερο ή ίσο του $-5$. Άρα το σύστημα δεν έχει κοινές λύσεις. **Τελικές απαντήσεις:** - β) $x \leq -5$ - γ) Δεν υπάρχουν κοινές λύσεις.