1. نبدأ ببيان المشكلة: لدينا كثيرة حدود $f(x)$ وباقي قسمة $f(x)$ على $(x-3)$ هو 4، وباقي قسمة $f(x)$ على $(x+2)$ هو 9. 2. نعلم من نظرية الباقي أن باقي قسمة كثيرة الحدود على قاسم من الدرجة الأولى هو قيمة كثيرة الحدود عند جذر القاسم. 3. إذن: - $f(3) = 4$ - $f(-2) = 9$ 4. نريد إيجاد باقي قسمة $f(x)$ على $(x-3)(x+2)$، وهو كثير حدود من الدرجة الأقل من 2، أي من الشكل: $$R(x) = ax + b$$ 5. بما أن $R(x)$ هو باقي القسمة، فإنه يحقق: $$R(3) = f(3) = 4$$ $$R(-2) = f(-2) = 9$$ 6. نعوض في $R(x)$: $$a \cdot 3 + b = 4$$ $$a \cdot (-2) + b = 9$$ 7. نحصل على نظام المعادلات: $$\begin{cases} 3a + b = 4 \\ -2a + b = 9 \end{cases}$$ 8. نطرح المعادلتين لإلغاء $b$: $$ (3a + b) - (-2a + b) = 4 - 9 $$ $$ 3a + b - (-2a) - b = -5 $$ $$ 3a + b + 2a - b = -5 $$ $$ 5a = -5 $$ $$ a = \frac{-5}{5} = -1 $$ 9. نعوض قيمة $a$ في المعادلة الأولى: $$ 3(-1) + b = 4 $$ $$ -3 + b = 4 $$ $$ b = 4 + 3 = 7 $$ 10. إذن باقي القسمة هو: $$ R(x) = -1 \cdot x + 7 = -x + 7 $$ النتيجة النهائية: $$\boxed{R(x) = -x + 7}$$