بسط الأعداد

1. نبدأ بحل التمرين الأول: بسط الأعداد التالية ثم نذكر أصغر مجموعة ينتمي إليها كل عدد. 2. العدد الأول: $$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$$ - نستخدم مبدأ الترافق لمقام الجذر: $$\frac{2}{\sqrt{3}+1} \times \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{2} = \sqrt{3}-1$$ - إذن العدد المبسط هو $$\sqrt{3}-1$$ وهو عدد غير نسبي (irrational). 3. العدد الثاني: $$\frac{(25)^2 \times 3^2 \times 2^5}{5^4 \times 9^3 \times 4^4}$$ - نحسب كل جزء: - $$25^2 = 625$$ - $$3^2 = 9$$ - $$2^5 = 32$$ - $$5^4 = 625$$ - $$9^3 = 729$$ - $$4^4 = 256$$ - إذن: $$\frac{625 \times 9 \times 32}{625 \times 729 \times 256} = \frac{625 \times 9 \times 32}{625 \times 729 \times 256}$$ - نختصر 625: $$= \frac{9 \times 32}{729 \times 256}$$ - نضرب البسط: $$9 \times 32 = 288$$ - نضرب المقام: $$729 \times 256 = 186624$$ - إذن الكسر هو: $$\frac{288}{186624}$$ - نبسط الكسر بقسمة البسط والمقام على 288: $$\frac{1}{648}$$ - إذن العدد المبسط هو $$\frac{1}{648}$$ وهو عدد نسبي (rational). 4. العدد الثالث: $$\frac{17}{3}$$ عدد كسري بسيط نسبي. 5. العدد الرابع: $$\frac{32}{6} = \frac{16}{3}$$ عدد نسبي. 6. العدد الخامس: $$\frac{1}{\sqrt{2} - 1} + 1$$ - نبسط الجزء الأول: $$\frac{1}{\sqrt{2} - 1} \times \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1$$ - إذن التعبير: $$\sqrt{2} + 1 + 1 = \sqrt{2} + 2$$ - هذا عدد غير نسبي. 7. العدد السادس: $$\frac{-10\pi}{\pi} = -10$$ عدد صحيح (integer). 8. أصغر المجموعات التي تنتمي إليها الأعداد: - $$\sqrt{3} - 1$$: عدد غير نسبي. - $$\frac{1}{648}$$: عدد نسبي. - $$\frac{17}{3}$$: عدد نسبي. - $$\frac{16}{3}$$: عدد نسبي. - $$\sqrt{2} + 2$$: عدد غير نسبي. - $$-10$$: عدد صحيح. النتيجة النهائية: - الأعداد المبسطة هي: $$\sqrt{3} - 1, \frac{1}{648}, \frac{17}{3}, \frac{16}{3}, \sqrt{2} + 2, -10$$ - أصغر المجموعات: - غير نسبي: $$\sqrt{3} - 1, \sqrt{2} + 2$$ - نسبي: $$\frac{1}{648}, \frac{17}{3}, \frac{16}{3}$$ - صحيح: $$-10$$